Número de clase que mide el fracaso de la factorización única

Question

La afirmación de que el número de clase mide el fracaso del anillo de enteros para ser una ufd es muy común en los libros. ufd iff el número de clase es 1. Esto inspira la siguiente pregunta:

¿Existe un enunciado cuantitativo que relacione el número de clase de un campo numérico con el fracaso de la factorización única en el orden maximal - que no sea $h = 1$ si $R$ ¿es una ufd?

¿En qué sentido una orden máxima de la clase número 3 "falla más" para ser una ufd que una orden máxima de la clase número 2?

¿Es cierto que un entero en un campo de mayor número de clase tendrá más representaciones distintas como producto de elementos irreducibles que un entero en un campo con menor número de clase?

Answer 1

Teorema (Carlitz, 1960): El anillo de enteros $\mathbb{Z}_F$ de un campo numérico algebraico $F$ tiene un número de clase como máximo $2$ si para todas las no unidades no nulas $x \in \mathbb{Z}_F$ dos factorizaciones cualesquiera de $x$ en irreducibles tienen el mismo número de factores.

Una prueba de esto (y una generalización de Valenza de 1990) puede encontrarse en $\S 22.3$ de mis apuntes de álgebra conmutativa .

Este documento ha dado lugar a una gran cantidad de investigaciones por parte de los teóricos del anillo sobre dominios semifactoriales son anillos en los que cada no unidad no nula se factoriza en irreducibles y tales que el número de factores irreducibles es independiente de la factorización.

Sin embargo, para ser sincero, creo que hay muchos teóricos de los números que piensan en el número de clase como medida del fracaso de la factorización única que no conocen el teorema de Carlitz (o que lo conocen pero no están pensando en él cuando hacen ese tipo de afirmación).

Aquí hay otro intento [ edit: esto es esencialmente lo mismo que la respuesta de Olivier, pero dicho de otra manera; creo que vale la pena tener ambos En el caso de los problemas diofánticos (sobre los números enteros), a menudo se obtienen buenos resultados si el número de clase de un determinado campo numérico es primo de una determinada cantidad. El ejemplo más famoso de esto es el último teorema de Fermat, que es fácil de demostrar para un primo impar $p$ para el que el número de clase de $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ es primordial para $p$ : un primo llamado "regular".

Para una aplicación a las ecuaciones de Mordell $y^2 + k = x^3$ , ver

http://alpha.math.uga.edu/~pete/4400MordellEquation.pdf

En especial, véase la sección 4, donde se define axiomáticamente la clase de anillos "de número de clase primo a 3" y se aplica a la ecuación de Mordell. (N.B.: Estas notas están escritas para un público de estudiantes de grado avanzado / primer año de posgrado).

La ecuación de Mordell es probablemente un mejor ejemplo que la ecuación de Fermat porque:

(i) el argumento en el caso "regular" es más elemental que el FLT en el caso regular (este último es demasiado complicado para hacerlo en un primer curso), y

(ii) cuando se abandona la hipótesis de la "regularidad", no sólo es más difícil demostrar que no hay soluciones no triviales, sino que en realidad es muy a menudo falsa.

Answer 2

He aquí una respuesta parcial.

En un UFD, la siguiente afirmación es verdadera : "O un elemento es primo o se puede escribir como un producto no trivial". En un anillo Dedekind con número de clase finito h, no es cierto, pero se tiene la siguiente afirmación "cuantitativa" : "o un elemento es primo o se puede escribir su potencia h-ésima como un producto no trivial".

Answer 3

Para dominios Dedekind, como los enteros de un campo numérico, PID si UFD. Definitivamente, hay una afirmación cuantitativa que relaciona el número de clase con el fracaso de la PID: cuanto mayor es el número de clase, menor es la densidad de ideales primos principales entre los ideales primos; esto es sólo Cebotarev más hechos estándar sobre el campo de clases de Hilbert.

Answer 4

Número de clase $h(K)$ es exactamente la medida cuantitativa del fracaso de la factorización única: por su definición mide "cuántas más ideas hay en comparación con los números".

Para aclarar: la descomposición es siempre única para los ideales, así que si los únicos ideales que tienes son números (es decir, $h = 1$ ), entonces no tiene ningún problema para descomponer los números (entonces, tiene PID). Además, cuantos más ideales "sobrantes" tengas (grupo de clases ideales), más posibilidades de escribir diferentes descomposiciones de números existen.

Esta vaga afirmación puede transformarse en otras más precisas. Si se tienen diferentes factorizaciones del número $x$ esto significa que los ideales primos en la descomposición $x = \mathfrak p_1\mathfrak p_2\dots\mathfrak p_n$ Se puede establecer a partir de aquí el límite en el número de posibles factorizaciones diferentes; puede ser (no estoy seguro aquí) que se pueda demostrar que no es más que $C(h)$ .

Otro teorema que sigue (mencionado por Olivier): $x^h$ debe tener siempre una descomposición en números verdaderos y no en ideales. En efecto, $x^n = \mathfrak p_1^h\mathfrak p_2^h\dots\mathfrak p_n^h$ y hay que utilizar el hecho de que cualquier elemento $p$ en un grupo abeliano de tamaño $h$ tiene la propiedad $p^h = 1$ .

Answer 5

Sé que llego tarde a la fiesta, pero me parece que las otras respuestas no responden directamente a la última parte de la pregunta:

¿Es cierto que un entero en un campo de mayor número de clase tendrá más representaciones distintas como producto de elementos irreducibles que un entero en un campo con menor número de clase?

No. O $K_1 \cap K_2$ tendrá más factorizaciones distintas en $K_1$ que $K_2$ si $h(K_1) \ge h(K_2)$ . Pero incluso en situaciones sencillas en las que se podría esperar que esto fuera cierto, el frente a comportamiento puede ocurrir.

En este documento , di una expresión combinatoria para el número $\eta(x)$ de factorizaciones distintas de $x \in \mathcal O_K$ ( $K$ un campo numérico) en términos de las clases ideales de $\mathfrak p_i$ y los exponentes $e_i$ , donde $x \mathcal O_K$ tiene una factorización ideal primera $\prod \mathfrak p_i^{e_i}$ . También hay una descripción precisa de la estructura de factorizaciones distintas, lo que deja claro que la estructura de las factorizaciones distintas puede complicarse con grupos de clases más complicados. (En particular, se puede utilizar esta descripción para obtener el teorema de Carlitz y resultados relacionados).

Pero volviendo a tu pregunta, aquí tienes un ejemplo en el que puedes describir $\eta(x)$ simplemente. Supongamos que $K$ es cuadrática, $x=p$ es un primo racional y $\mathfrak p$ es el ideal primo de $\mathcal O_K$ por encima de $p$ , entonces para cualquier $n \in \mathbb N$ ,

$$ \eta(p^n) = \begin{cases} 1 & \mathfrak p \text{ principal or $p$ ramifies} \\ \lfloor \frac nm \rfloor + 1 & \text{else}, \end{cases} $$

donde $m$ es el orden de $\mathfrak p$ en el grupo de clase.

En particular, supongamos que $K_1$ y $K_2$ son campos cuadráticos con números de clase 3 y 2 respectivamente, y $p$ es un primo racional no ramificado en ambos $K_1$ y $K_2$ . Sea $\mathfrak p_1$ y $\mathfrak p_2$ sean primos de $K_1$ y $K_2$ por encima de $p$ . Entonces $p^n$ (para cualquier $n > 3$ ) tiene más factorizaciones distintas en $K_2$ (un campo de clase número 2) que $K_1$ (un campo de clase 3) si y sólo si $\mathfrak p_2$ no es principal.