Los subgrupos de un grupo cíclico

Question

Tenemos $G=U(\mathbb Z/(27)\mathbb Z)=\langle 2 \rangle$ un grupo cíclico, y $H=\langle -8, -1 \rangle$ un subgrupo de $G$ . He calculado todos los subgrupos de $G$ . Ahora tengo que identificar $H$ con un subgrupo de $G$ , sin calcular todos los elementos de $H$ .

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Así que creo que puedo ver claramente que $H$ es igual al subgrupo $\langle 8 \rangle =\{8,10,-1,-8,-10,1\}$ pero como el problema dice que no puedo calcular todos los elementos de H para resolver este problema, no sé cómo puedo justificar que H es igual a $\langle 8 \rangle$ . ¿Cómo puedo hacerlo?

Answer 1

Tenemos $|G|=27-9=18$ Por lo tanto $2^9 = -1$ .

Ahora $H=\langle -8,-1 \rangle = \langle -2^3, 2^9\rangle = \langle 2^9\cdot 2^3, 2^9\rangle = \langle 2^{12},2^9\rangle$ .

Ahora, gracias a la Lemma de Bezout tenemos $H=\langle 2^{12},2^9\rangle = \langle 2^3\rangle = \langle 8\rangle$ .

Answer 2

$G\cong\Bbb Z_{18}$ . Los subgrupos son todos cíclicos, de órdenes $1,2,3,6,9$ y $18$ . Pero $H$ tiene un elemento de orden dos ( $-1$ ). Por tanto, su orden es par. Pero el orden de $H$ es mayor que $2$ ya que contiene $1,-1,-8$ .

Por tanto, es el subgrupo de orden $6$ o $G$ sí mismo.

No es $G$ sin embargo: Obsérvese que tenemos $|8|=|2^3|=18/(18,3)=18/3=6$ , $|-8|=|2^{12}|=18/(12,18)=3$ . Y como $G$ es abeliano, para dos elementos cualesquiera $a,b\in G$ tenemos $|ab||\operatorname{lcm}(|a|,|b|)$ . Así, el orden máximo de un elemento de $H$ es $6$ .