La expansión decimal del cociente de dos enteros

Question

Se trata de un ejercicio de un libro de matemáticas discretas.Cómo demostrar que en la expansión decimal del cociente de dos enteros, eventualmente se repite algún bloque de dígitos. Por ejemplo: $\frac { 1 }{ 6 } =0.166\dot { 6 } \ldots$ y $\frac { 217 }{ 660 } =0.328787\dot { 8 } \dot { 7 } \ldots$

¿Cómo pensar en esto? No encuentro el punto para usar el Principio de Encasillamiento. Gracias por su ayuda.

Answer 1

Pasemos a la división propiamente dicha:

$\begin{array} {r|l} \boxed{217}\hphantom{000\;} & 660\\ \hline 2170\hphantom{000} & 0.3287\\ -1980\hphantom{000} & \\ \boxed{190}\hphantom{00\;} & \\ 1900\hphantom{00} & \\ -1320\hphantom{00} & \\ \boxed{580}\hphantom{0\;} & \\ 5800\hphantom{0} & \\ -5280\hphantom{0} & \\ \boxed{520}\hphantom{\;} & \\ 5200 & \\ -4620 & \\ \boxed{580} & \\ \end{array}$

Lo importante es que los restos deben ser menores que el cociente $660$ de manera que, tras un número finito de operaciones, debe obtener $0$ o un remanente que tengas antes.
¿Cuál será el siguiente dígito del cociente? ¿Y el siguiente resto?

Espero que se aclare,

Answer 2

Supongamos que el decimal es infinito (si no, el 0 se repite). Imagina que evalúas el cociente mediante una división larga. Después de cada paso, después de que el numerador se ha convertido en todo 0, usted tiene que llevar algo menos que el denominador. Al final tendrás que llevar algo que llevabas antes, porque llevas algo en cada paso.