¿Cómo se implementa la información de que detrás del plano de apertura/corte/cristal hay una lente de enfoque en la integral de Fresnel-Kirchhoff?
Parece que la solución es entender el papel de la lente como una transformación de Fourier en las ondas difractadas. Pero cómo se aplica esto en la práctica.
Agradeceré si alguien puede dar alguna pista y algún indicio.
El campo eléctrico a unas pocas longitudes de onda de la apertura viene dado por la transformada de Fresnel (que es una aproximación de la ecuación de Fresnel-Kirchhoff).
La transformada de Fresnel es la transformada de Fraunhofer con un término de fase cuadrático en la integral:
$$ U(x,y) = \frac{e^{jkz}}{j\lambda z}{e^{k \frac{k}{2z} (x^2 + y^2) }} \int \int_{-\infty}^{\infty} \{ U \left( \xi, \eta \right) e^{j \frac{k}{2z} (\xi^2 + \eta^2 ) } \} e^{-j \frac{2 \pi}{ \lambda z} (x \xi + y \eta ) } d \xi d\eta $$
Se ve la fase cuadrática dentro de la integral: $ e^{j \frac{k}{2z} (\xi^2 + \eta^2 ) } $
Después de una cierta distancia, $z$ es tan grande que la fase cuadrática es aproximadamente $ \approx 1 $ . Como está en el denominador del argumento de la fase cuadrática.
Por tanto, la transformada de Fresnel se simplifica a la transformada de Fraunhofer, que es básicamente la transformada de Fourier.
Sin embargo, en una configuración muy especial que utiliza una lente, sucede que la lente imparte una fase cuadrática que es igual y opuesta a la fase cuadrática dentro de la integral y se cancelan.
Así, al atravesar la lente y propagarse hacia el plano focal posterior, el término de fase cuadrático de la transformada de Fresnel se anula y ésta se simplifica a la transformada de Fraunhofer. Y la transformada de Fraunhofer es la transformada de Fourier.
La respuesta completa requeriría varias páginas de matemáticas e imágenes, pero esa es básicamente la idea.
La respuesta corta (y un poco evasiva) es que en la óptica gaussiana se puede demostrar matemáticamente que la distribución de la intensidad en la pupila de entrada de una lente sufre una transformación de Fourier en el plano focal de la lente (que es lo que realmente es la difracción de Fraunhofer).
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