La probabilidad de $\alpha\beta\gamma=\gamma\beta\alpha$ aleatorio de permutaciones de un conjunto finito?

Question

Después de mi anterior pregunta Probabilidad de que dos permutaciones al azar de una $n$-set de viaje?, he aquí una pregunta relacionada con tres elementos.

Q: Si $\alpha,\beta,\gamma$ son elegidos de manera uniforme al azar entre el grupo simétrico de a $n$ elementos, ¿cuál es la probabilidad de que $\alpha\beta\gamma=\gamma\beta\alpha$?

Para $n \leq 6$ tenemos el impresionante establecimiento $$\mathrm{Pr}[\alpha\beta=\beta\alpha]=\mathrm{Pr}[\alpha\beta\gamma=\gamma\beta\alpha].$$

como se ilustra en la siguiente tabla:

\begin{array}{r|rr} n & \mathrm{Pr}[\alpha\beta\gamma=\gamma\beta\alpha] & \mathrm{Pr}[\alpha\beta=\beta\alpha] \\ \hline 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 108\ /\ 3!^3 = 0.5 & 18\ /\ 3!^2 = 0.5\\ 4 & 2880\ /\ 4!^3 \simeq 0.208 & 120\ /\ 4!^2 \simeq 0.208 \\ 5 & 100800\ /\ 5!^3 \simeq 0.058 & 840\ /\ 5!^2 \simeq 0.058 \\ 6 & 5702400\ /\ 6!^3 \simeq 0.015 & 7920\ /\ 6!^2 \simeq 0.015 \\ \end{array}

calculadas usando la BRECHA. ¿Esta presionado en general?

Comentarios:

• Las herramientas que se utilizan en la pregunta anterior (por ejemplo, el centralizador subgrupo) no parecen ser útil aquí. (Aunque, tal vez me estoy perdiendo algo importante.)

• Esto no parece generalizar: por ejemplo, en $S_3$, $\mathrm{Pr}[\alpha\beta\gamma\delta=\delta\gamma\beta\alpha] \simeq 0.103$ que no coincide.

• Ninguna de las permutaciones $(13),(23),(12) \in S_3$ tiempo de viaje, pero $(13)(23)(12)=(23)=(12)(23)(13)$.

Answer 1

Teorema. Para cualquier grupo finito $G$,$P(\alpha\beta=\beta\alpha)=P(\alpha\beta\gamma=\gamma\beta\alpha)$.

Prueba. Ya sabemos que $P(\alpha\beta=\beta\alpha)=k/|G|$ (a los lectores: consulte previamente vinculado a la pregunta), y vamos a obtener la misma fórmula para $P(\alpha\beta\gamma=\gamma\beta\alpha)$. En primer lugar, la escritura de $x=\alpha\beta$$y=\beta\alpha$, recuento de

$$\frac{1}{|G|^3}\sum_{(x,y)\in G^2}\color{Blue}{\#\{(\alpha,\beta)\in G^2:\begin{smallmatrix}\alpha\beta=x \\ \beta\alpha=y\end{smallmatrix}\}}\times\color{Red}{\#\{\gamma\in G:x\gamma=\gamma y\}}.$$

Reorganizar $\alpha\beta=x$ $\beta=\alpha^{-1}x$y el enchufe en $\beta\alpha=y$$\alpha^{-1}x\alpha=y$. Así, el azul recuento $0$ si los elementos de a $x\not\sim y$, y es $|C_G(x)|$ si $x\sim y$:$G$ -, si dos elementos se encuentran en la misma órbita, el número de elementos que se mueven a la primera a la segunda es el tamaño de la primera del estabilizador. Para el recuento de glóbulos rojos, reescribir $x\gamma=\gamma y$$x=\gamma y\gamma^{-1}$. Por el mismo principio, esto es $|C_G(y)|$ si $x\sim y$ $0$ si no conjugada. Sabemos $|C_G(x)|=|G|/|K|$ donde $K$ $x$'s de la clase conjugacy. Deje que las clases se aparece como $K_1,K_2,\cdots,K_k$. Entonces tenemos

$$\frac{1}{|G|^3}\sum_{i=1}^k\sum_{\color{Purple}{x,y\in K_{\Large i}}}\color{Green}{|C_G(x)||C_G(y)|}=\frac{1}{|G|^3}\sum_{i=1}^k \color{Purple}{|K_i|^2}\color{Green}{\left(\frac{|G|}{|K_i|}\right)^2}=\frac{k}{|G|}.$$

Answer 2

Conmutatividad puede ser comparado con un toro. El producto de todos los elementos alrededor del perímetro es la identidad. $ab=ba$ puede ser re-escrito $aba^{-1}b^{-1}=1$.

Aviso de $abca^{-1}b^{-1}c^{-1}$ también define el límite de un toro. Yo siempre confundo sobre el segundo. Es porque usted puede embaldosar el plano con hexágonos.

A continuación, puede definir una suma $ \sum_{a,b \in G} \delta(aba^{-1}b^{-1}) $ o $ \sum_{a,b,c \in G} \delta(abca^{-1}b^{-1}c^{-1}) $ a contar las combinaciones de los elementos del grupo la solución de la ecuación.

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Vamos a obtener la misma respuesta en ambos casos: el número de clases conjugacy de $G$.

Si pones cuatro hexágonos juntos tal vez usted puede obtener los desplazamientos par. He escrito:

$$ [cbcb,a]=1 \text{ if } abc=cba$$

Es este un bijection? ¿Se puede tomar una plaza de toro y construir el hexágono toro?

No podemos, porque el paralelogramo fundamental y el límite de los 4 hexágonos son homotópica. Esto es en el Capítulo 2 de la Topología Algebraica por Allen Hatcher.