Tamaño de las clases de conjugación en SL(2,3)

Question

Me han dado las representaciones de las clases de conjugación para la presentación de un grupo $G = <x,y,z | x^2 = y^3 = z^3 = xyz>$ que es isomorfo a $SL(2,\mathbb{F}_3)$ que son:

$\bigl(\begin{smallmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{smallmatrix} \bigr)$ $\bigl(\begin{smallmatrix} 2&0\\ 0&2 \end{smallmatrix} \bigr)$ $\bigl(\begin{smallmatrix} 0&2\\ 1&0 \end{smallmatrix} \bigr)$ $\bigl(\begin{smallmatrix} 1&1\\ 1&0 \end{smallmatrix} \bigr)$ $\bigl(\begin{smallmatrix} 1&0\\ 2&1 \end{smallmatrix} \bigr)$ $\bigl(\begin{smallmatrix} 2&0\\ 1&2 \end{smallmatrix} \bigr)$ $\bigl(\begin{smallmatrix} 2&0\\ 2&2 \end{smallmatrix} \bigr)$

Ahora bien, este grupo es de orden 24, y en lugar de escribir todos los cálculos de la clase de conjugación a mano, me preguntaba si había una forma más sutil de calcular los tamaños de las clases de conjugación. Empecé por intentar multiplicar un representante de la clase de conjugación por $\bigl(\begin{smallmatrix} a&b\\ c&d \end{smallmatrix} \bigr) \in SL(2,\mathbb{F}_3)$ y ver si consigo una matriz de cierta forma, pero no parece que ayude mucho, si es que lo hace.

Answer 1

Esto es algo que ayudará. Tenga en cuenta si $z \in Z(G)$ el centro de $G$ entonces $$ z x^{-1}g x = x^{-1} zg x, \quad x, g \in G.$$ Esto significa que la multiplicación por un elemento del centro da una acción sobre el conjunto de clases de conjugación, es decir, si $C$ es una clase de conjugación en $G$ Así es $zC$ .

En este caso, el centro es simplemente $Z=\{ \pm I \}$ . De hecho $SL(2,3)/Z = PSL(2,3) \simeq A_4$ (cf. el comentario de Deitrich), por lo que esto reduce el problema esencialmente (en principio) a determinar las clases de conjugación de $A_4$ . De los representantes (no representaciones ) que tienes, obviamente hay 2 pares que sólo se diferencian por $-I = 2I$ .

Ahora la forma estándar de calcular las clases de conjugación (que tal vez conozcas) es para cada representante $g$ , calcula el centralizador $$ C_G(g) = \{ x \in G : xgx^{-1} = g \}.$$ Este es un subgrupo, y los elementos de la clase de conjugación $g$ vienen dadas por $ygy^{-1}$ donde $y$ recorre un conjunto de representantes del coset $G/C_G(g)$ (si no está familiarizado con esto, piense por qué). Así que si sólo quieres el tallas de las clases de conjugación (a saber $|G|/|C_G(g)|$ ), sólo hay que calcular el orden de cada $C_G(g)$ ,

Esto todavía requiere algunos cálculos, pero no debería ser demasiado malo. (El caso de la identidad es trivial (¿cuál es el centralizador?), así que entonces básicamente te quedan 4 clases de conjugación a considerar).