Encuentra la solución general de la EDO $(1+t^2)x''+(x')^2+1=0$

Question

Quiero resolver la siguiente EDO: $$ (1+t^2)x''+(x')^2+1=0 $$

sustituir $y = x'$

$$(1+t^2)y' + y^2 + 1 = 0\\ \frac{dy}{dt}=\frac{-(1+y^2)}{1+t^2}\\ \frac{dy}{1+y^2} = \frac{-dt}{1+t^2} $$ al integrar ambos lados me queda $$ \arctan y = - \arctan t + c $$ tomando $\tan$ de ambos lados $$ y = \tan ( - \arctan t + c)\\ \frac{dx}{dt} = \tan ( - \arctan t + c)\\ dx = dt \tan ( - \arctan t + c) $$ Seguramente no puedo integrar eso - debo haber cometido un error en alguna parte. ¿Podría alguien señalarme dónde y cómo corregirlo?

Answer 1

Al reasignar la constante

$$\arctan y = \arctan C_1 - \arctan t = \arctan\left(\frac{C_1-t}{1+C_1t}\right)$$

se puede tomar tangente en ambos lados e integrar para obtener la solución

$$x = \left(1+\frac{1}{C_1^2}\right)\log\left(1+C_1t\right) - \frac{1}{C_1^2}t + C_2$$

o en el caso $C_1 \to \infty$ y $C_1 = 0$ tenemos

$$x = \log t+C_2$$

$$x = -\frac{1}{2}t^2+C_2$$

respectivamente.

Answer 2

Consejo: $$\arctan y + \arctan t = c$$ Puedes usar la fórmula de adición de arctan: $$\arctan y + \arctan t = \arctan \dfrac {y+t}{1-yt}$$