¿Significado geométrico de la cohomología superior de las láminas?

Question

Dejemos que $X$ sea una variedad algebraica proyectiva sobre un campo algebraico cerrado $k$ . Sea $\mathcal{F}$ sea una gavilla coherente en $X$ . Sabemos que $H^0(X, \mathcal{F})$ es el espacio vectorial de las secciones globales de $\mathcal{F}$ . Esto nos da una ilustración geométrica de $H^0$ . Por ejemplo, dejemos que $I_D$ sea la gavilla ideal de una hipersuperficie $D$ de grado $>1$ en un espacio proyectivo $\mathbb{P}^n$ entonces es fácil ver que $$H^0(\mathbb{P}^n,I_D\otimes\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(1))=0.$$

De hecho, no hay ningún hiperplano que contenga $D$ lo que significa que no hay una sección global de $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(1)$ que son hiperplanos, que contienen $D$ . Por lo tanto, $H^0(\mathbb{P}^n, I_D\otimes\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(1))=0$ . Sin embargo, mi primera pregunta es cómo entender las cohomologías superiores de las gavillas de forma geométrica. Entonces surgen las siguientes preguntas:

1) Cómo entender el teorema de desaparición de Serre, es decir, ¿hay una forma geométrica de pensar en la desaparición de $H^q(X, \mathcal{F}\otimes A^n)$ para $n\gg1$ , donde $\mathcal{F}$ es coherente y $A$ es amplia.

2) Cómo entender geométricamente el teorema de fuga de Kodaira.

Tal vez una pregunta concreta ayude, por ejemplo $D$ una subvariedad de $\mathbb{P}^n$ Cómo determinar geométricamente si $H^0(\mathbb{P}^n, I_D\otimes\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(1))$ se desvanece o no.

Answer 1

Empecemos por el pasado. La invención de los esquemas alejó a la geometría algebraica de pensar en las variedades como objetos incrustados. Sin embargo, incrustar un esquema abstracto en un espacio proyectivo tiene muchas ventajas, así que si podemos hacerlo, es útil. E incluso si no podemos incrustar nuestro esquema en el espacio proyectivo, pero podemos encontrar un mapa no trivial, eso nos da alguna forma de entender nuestro esquema abstracto. Para encontrar un mapa no trivial necesitamos un haz de líneas con secciones.

Por lo tanto, estamos interesados en encontrar secciones de varias láminas, pero principalmente haces de líneas (y por supuesto para esto a veces necesitamos tratar con otro tipo de láminas). Por lo tanto, estamos interesados en $H^0$ .

Por otro lado, la computación $H^0$ no es trivial. No existen buenos métodos generales. Una de las razones es que, por ejemplo, $H^0$ no es constante en las familias, o dicho de otro modo, no es invariante de la deformación. Por otro lado, $\chi(X,\mathscr F)$ se comporta mucho mejor. Es constante en las familias planas y si $\mathscr F$ es un haz de líneas, entonces es calculable mediante Riemann-Roch.

Entonces, si sabemos que $H^i=0$ para $i>0$ entonces $H^0=\chi$ y estamos bien.

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He aquí un ejemplo explícito para un uso típico de la desaparición de Serre:

Ejemplo 1 Supongamos que $X$ es una variedad proyectiva suave y $\mathscr L$ es un haz de líneas amplio en $X$ . Entonces sabemos que $\mathscr L^{\otimes n}$ es muy amplio y $H^i(X, \mathscr L^{\otimes n})=0$ para $i>0$ y $n\gg 0$ . Entonces $\mathscr L^{\otimes n}$ induce una incrustación $X\hookrightarrow \mathbb P^N$ donde $N=\dim H^0(X,\mathscr L^{\otimes n})-1=\chi(X,\mathscr L^{\otimes n})-1$ por el desvanecimiento de Serre y por lo tanto $N$ es ahora computable por Riemann-Roch.

El único defecto de lo anterior es que, en general, no hay forma de saber qué $n\gg0$ realmente significa, por lo que es difícil obtener estimaciones numéricas explícitas de esto. Aquí es donde la desaparición de Kodaira puede ayudar.

Ejemplo 2 Además de lo anterior suponga que $\mathscr L=\omega_X$ o, en otras palabras, suponer que $X$ es una variedad proyectiva lisa canónicamente polarizada. Hay muchas de ellas, por ejemplo todas las curvas proyectivas lisas de género al menos $2$ o todas las hipersuperficies que satisfacen $\deg > \dim +2$ . En particular, son aquellos de los que nos gusta tener un espacio de moduli. De todos modos, la forma en que la desaparición de Kodaira cambia el cálculo anterior es que ahora sabemos que ya $H^i(X,\omega_X^{\otimes n})=0$ para $i>0$ y $n>1$ ¡! En otras palabras, tan pronto como sepamos que $\omega_X^{\otimes n}$ es muy amplio y $n>1$ entonces podemos calcular la dimensión del espacio proyectivo en el que podemos incrustar nuestras variedades canónicamente polarizadas. De hecho, quizás más importante que el hecho de que podamos calcularla, sabemos (por lo anterior) sin necesidad de calcularla que este valor es constante en las familias. Así que, una vez que tenemos un resultado de acotación que dice que esto ocurre para cualquier $n\geq n_0$ para un determinado $n_0$ y el Gran Teorema de Matsusaka dice exactamente eso, entonces sabemos que todas esas variedades proyectivas lisas canónicamente polarizadas (con un polinomio de Hilbert fijo) pueden incrustarse en $\mathbb P^N$ es decir, en el mismo espacio.

Esto implica que entonces todas estas variedades aparecen en el esquema de Hilbert apropiado de $\mathbb P^N$ y estamos en camino de construir nuestro espacio de moduli.

Por supuesto, hay mucho más que hacer para terminar toda la construcción y también este método funciona en otras situaciones, así que esto es sólo un ejemplo.

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Hay una cosa más que uno podría pensar con respecto a su pregunta, es decir, hacer la pregunta más abstracta:

"¿Qué significa la cohomología superior de las gavillas (por ejemplo, geométricamente)?"

Esto es discutible, pero creo que la esencia de la cohomología superior es que mide el fracaso de algo que desearíamos que fuera cierto todo el tiempo, pero que no lo es. Más concretamente, si te dan una secuencia exacta corta de gavillas en $X$ $$ 0\to \mathscr F' \to \mathscr F \to \mathscr F'' \to 0 $$ entonces sabemos que aunque $\mathscr F \to \mathscr F''$ es suryente, el mapa inducido en las secciones globales $H^0(X,\mathscr F) \to H^0(X,\mathscr F'')$ no lo es. Sin embargo, la desaparición de $H^1(X,\mathscr F')$ implica que para cualquier mapa suryectivo de láminas con núcleo $\mathscr F'$ como en el caso anterior, el mapa inducido en las secciones globales también es suryectivo. Como ya se tiene una interpretación geométrica de $H^0$ Esto da una para $H^1$ La medida (o, más precisamente, el

Para una explicación más detallada de la misma idea, véase esta respuesta de MO .

En mi opinión, la mejor manera de entender la parte superior ( $>1$ ) es que es la cohomología inferior de las sibilas. En otras palabras, consideremos una gavilla $\mathscr F$ y la incrustamos en una gavilla acíclica (por ejemplo, flásica o inyectiva o flácida o blanda). Así se obtiene una secuencia exacta corta: $$ 0\to \mathscr F\to \mathscr A\to \mathscr G \to 0 $$ Desde $\mathscr A$ es acíclico, tenemos que para $i>0$ $$ H^{i+1}(X,\mathscr F)\simeq H^i(X,\mathscr G), $$ así que si entiendes lo que $H^1$ significa, entonces $H^2$ de $\mathscr F$ es sólo $H^1$ de $\mathscr G$ , $H^3$ de $\mathscr F$ es sólo $H^2$ de $\mathscr G$ y así sucesivamente.

Answer 2

Una forma de pensar en los grupos de cohomología superiores de, por ejemplo, haces vectoriales holomorfos es a través del isomorfismo de Dolbeault $$ H^q(X, \mathcal O(E)) \cong H^{0,q}(X,E) $$ (y también el más general $H^{q}(\mathcal O( \Lambda^pT^*X\otimes E)) \cong H^{p,q}(E)$ .)

Si además elegimos una métrica de Kähler sobre X y una métrica hermitiana sobre E, entonces la teoría de Hodge dice que la cohomología está representada por formas armónicas. Así que podemos pensar en la q th grupo de cohomología de la gavilla de secciones de E como el espacio de las formas armónicas (0,q) con valores en E.

Se puede interpretar la desaparición de Kodaira desde este punto de vista. Elijamos un haz de líneas holomorfas L con una métrica hermitiana sobre una variedad de Kähler X. Entonces tenemos una conexión en L y, por tanto, una conexión inducida sobre formas valoradas en L. Esto da un laplaciano "aproximado" $\nabla^* \nabla$ . La fórmula de Weitzenbock nos dice en qué se diferencia del laplaciano estándar. En una forma (p,q) con valores en L, $$ \Delta = \nabla^*\nabla + F $$ donde F es un endomorfismo del haz $\Lambda^{p,q}\otimes L$ donde las formas de valor L toman sus valores. F depende de (p,q) y de las métricas de L y X.

La hipótesis de la desaparición de Kodaira es que existe una métrica hermitiana sobre L cuya curvatura es una forma de Kahler. Si utilizamos esta métrica sobre L y también esta forma de Kahler sobre X entonces el operador F tiene un cierto signo: cuando p+q>n, la dimensión de X, F es un endomorfismo positivo definido del haz $\Lambda^{p,q}\otimes L$ . A partir de aquí podemos demostrar la desaparición de Kodaira. Una forma armónica (p,q) $\alpha$ con valores en L tiene $\Delta \alpha = 0$ por lo que, integrando la fórmula de Weitzenbock contra $\alpha$ vemos $$ \int |\nabla \alpha|^2 + \int (F(\alpha), \alpha) = 0 $$ Ahora la positividad de $F$ significa que ambos términos son no negativos y por lo tanto deben desaparecer. Esto obliga a $\alpha$ para desaparecer y así $H^{p,q}(L)=0$ cuando $p+q >n$ .

Answer 3

I) El uso más elemental, pero bastante útil, de un teorema de fuga es a través de Riemann-Roch para una curva completa suave $X$ sobre el campo algebraicamente cerrado $k$ . Riemann-Roch para un divisor $D$ en $X$ dice que $$h^0(X,L(D)-h^1(X, L(D)=1-g+deg (D)$$ [Aquí $g$ =género de $X$ , $h( )=dim_k H( )$ ]

Si $deg(D)>2g-2$ le $H^1$ desaparecerá y la fórmula precisa $dim L(D)=1-g+deg(D)$ se cae: te da el número de funciones racionales en $X$ con polos controlados por $D$ .

II) A un nivel más avanzado, un uso impresionante de la cohomología evanescente es la m-regularidad de Mumford. Una gavilla coherente $\mathcal F$ en $\mathbb P_n(k)$ se dice que es m-regular si $H^i(\mathbb P_n, \mathcal F(m-i)))=0$ para todos $i>0$ . Si esta definición le parece extraña, no se preocupe: el propio Mumford la califica de "aparentemente tonta" (en su libro "Lectures on Curves on an Algebraic Surface", Princeton university Press, 1966). Pero luego muestra cómo utilizar esta noción para construir esquemas de hilbert y (re)derivar varios teoremas sobre superficies algebraicas (teorema del índice, completitud del sistema lineal característico).

III) Una aplicación que puede ayudarte a entender y apreciar el teorema de desaparición de Kodaira es uno de sus corolarios: El teorema "débil" de Lefschetz [ prueba en Griffiths-Harris, páginas 156-157].

Dice esencialmente que en una variedad proyectiva $X$ una hipersuperficie lisa $Y$ con un haz de líneas positivo asociado $\mathcal O (Y)$ (por ejemplo, una sección hiperplana lisa) tiene la misma cohomología singular (con coeficientes en $\mathbb Q$ ) como el colector ambiental $X$ , hasta el grado $dim(Y)-1$ y una cohomología mayor en grado $dim(Y)$ .

IV), etc.