¿Cuántas formas hay de sentar a 7 personas alrededor de una mesa redonda, si consideramos iguales dos disposiciones que difieren en una rotación?

Question

Tengo que usar el Lemma de Burnside para esto.

Lo que estaba pensando es que el grupo que actúa sobre el conjunto de posibles asientos era el grupo de rotación $R_7$ .

Para las combinaciones totales tenemos $7!$ ya que tenemos 7 personas.

La identidad fija todos los arreglos así $\mathrm{Fix}(e) = 7!$ Dado que cada persona es distinta, cualquier otro elemento de la acción no fija la disposición, ya que se necesitaría que el heptágono de personas estuviera compuesto por la misma persona (como los problemas sobre las cuentas de colores en los collares), por lo tanto $\mathrm{Fix}(r^k) = 0$ donde $r \in R_7 \setminus \{e\} $

Esto cubre todos los elementos de $R_7$ Así que terminamos con

$$\frac{7!}{7} = 6!$$ posibles disposiciones de los asientos que no difieren por alguna rotación.

Answer 1

Para permutación cicular Supongamos que se fija un elemento en un círculo, entonces se pueden permutar los demás y así obtenemos $(n-1)!$ arreglos.

Answer 2

No sé nada del teorema que mencionas, pero igual que si cortas un collar en un punto y cuentas las permutaciones y luego consideras las repeticiones. Ya que para "cualquiera" dado cuatro personas en una fila, digamos

$$\color{red}{A}BCD,$$

también puede encontrar $\color{red}BCD\color{blue}{A}$ , $\color{red}{C}D\color{blue}{AB},$ $\color{red}{D}\color{blue}{ABC}$ , por lo que hay que dividirlo por

$$(\textrm{number of people}),$$

en resumen

$$\frac{(\textrm{number of people})!}{\textrm{number of people}}$$