Me gustaría encontrar una manera de mostrar si el cuantil de la muestra es un estimador insesgado de los verdaderos cuantiles. Sea $F$ sea estrictamente creciente con la función de densidad $f$ . Definiré el $p$ -cuantil para $0<p<1$ como $Q(p)=F^{-1}(p)$ y el cuantil de la muestra como $$\hat{F}_n^{-1}(p)=\inf\{x:\hat{F}_n(x)\geq p\},$$ donde $\hat{F}_n(x)$ es la función de distribución empírica, dada por $$\hat{F}_n(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n I(X_i \leq x).$$ Basándome en la literatura que he leído, espero que el cuantil de la muestra esté sesgado, pero estoy teniendo problemas para averiguar cómo tomar el valor esperado de $\hat{F}_n^{-1}(p)$ , sobre todo porque se define como el ínfimo de un conjunto. Sé que el valor esperado de la función de distribución empírica es $F(x)$ . Cualquier ayuda o referencia que pueda orientarme será muy apreciada.
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$\hat{F}_n^{-1}(p)$ es el valor más pequeño $x$ tal que al menos $p$ fracción de los puntos de la muestra satisfacen $X_i \leq x$ . En otras palabras, al menos $np$ de los puntos de la muestra satisfacen $X_i \leq x$ y como $np$ puede no ser un número entero, podemos decir que al menos $\lceil np \rceil$ . Así, $\hat{F}_n(p)^{-1}=x$ si y sólo si al menos $\lceil np \rceil$ de los puntos de la muestra satisfacen $X_i \leq x$ y existe $X_i$ tal que $X_i=x$ (de lo contrario seríamos capaces de encoger $x$ un poco y todavía tienen $\hat{F}_n(x)>p$ ).
Esto es todavía en una forma demasiado complicada para tomar el valor esperado, pero puede ayudar a mirar un pequeño caso, digamos $n=1$ . En este caso, si $p>0$ puis $\hat{F}_n^{-1}(p)=x$ si y sólo si $X_1=x$ . En otras palabras, $\hat{F}_n^{-1}(p)=X_i$ para todos $p>0$ . Este no es un estimador insesgado de $Q(p)$ .
