Operadas simétricas libres y $\mathbb{S}$ -módulos

Question

En la definición de las operadas, si restringimos nuestra atención a $\mathbb{S}$ -donde la acción de los grupos simétricos es libre, entonces la operadas gratuitamente tienen todavía un libre subyacente $\mathbb{S}$ -¿Módulo? Incluso los colimits sobre este tipo de operadas tienen todavía un subyacente libre $\mathbb{S}$ -¿Módulo?

Y finalmente, en este tipo de operadas simétricas, la construcción de la operada libre (usando árboles) será mucho más sencilla ¿no? Me refiero a que si es similar a la del caso no simétrico (donde esencialmente sólo tenemos que etiquetar cada vértice con los elementos del $\mathbb{S}$ -)? En el sentido de que no necesitamos todos los detalles técnicos combinatorios sobre el comportamiento de $\mathbb{S}$ -módulos.

No soy un experto en operadas, pero estas preguntas se me ocurrieron mientras leía el libro Operadas algebraicas de Bruno Vallette y Jean-Louis Loday. En la sección 5.5 se describe la construcción de la operada libre.

Answer 1

1. Lo que se dice de las operadas gratuitas sobre las gratuitas $\mathbb{S}$ -módulos siendo ellos mismos libres $\mathbb{S}$ -módulos y ser describible en términos de la operada libre no simétrica es correcto.

   En la sección 5.9.11 de Loday-Vallette, construyen funtores adyacentes entre operadas ns y operadas (simétricas). Los funtores de operadas ns libres y operadas simétricas libres también admiten funtores adyacentes olvidados a la derecha. Por último, el funtor a libre $S$ -sobre módulos de aridad graduada también tiene un adjunto olvidadizo.

Los funtores olvidadizos conmutan por inspección: $$ \require{AMScd} \begin{CD} Op@>>>ns\ Op\\ @VVV @VVV\\ \mathbb{S}\text{-}mod@>>>\mathbb{N}\text{-}mod \end{CD} $$ y así los funtores libres adyacentes a la izquierda conmutan $$ \require{AMScd} \begin{CD} Op@<{\otimes \mathbb{K}[\mathbb{S}_n]}<<ns\ Op\\ @A{F}AA @A{F_{ns}}AA\\ \mathbb{S}\text{-}mod@<{\otimes\mathbb{K}[\mathbb{S}_n]}<<\mathbb{N}\text{-}mod \end{CD} $$ y por tanto la operada libre $F(M)$ para $M\cong N\otimes \mathbb{K}[\mathbb{S}_n]$ es canónicamente isomorfo a $F_{ns}(N)\otimes \mathbb{K}[\mathbb{S}_n]$ .

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2. Como se explica en mi comentario, esto ya no es cierto para los colímites de las operadas libres en las libres $\mathbb{S}$ -módulos. Tome un $\mathbb{S}$ -Módulo $M$ y un endomorfismo $f$ de $M$ cuyos cokernel no son libres $\mathbb{S}$ -módulos. Por ejemplo, dejemos que $M$ ser una persona libre $\mathbb{S}_2$ -y dejar que $f$ sea la simetrización o la simetrización oblicua.

Entonces el empuje del diagrama $$ \require{AMScd} \begin{CD} F(M)@>{F(f)}>>F(M)\\ @VVV \\ 0 \end{CD} $$ es la operada libre en el cokernel de $f$ (en nuestro ejemplo, la representación trivial o de signos de $\mathbb{S}_2$ ), y en particular no está libre como $\mathbb{S}$ -módulo.