Encontrar una serie divergente para una serie convergente.

Question

Me preguntaron eso, dando $$\sum_{n=1}^\infty a_n,$$ encontrar $a_n$ tal que la serie diverge, pero

$$a_n\le\frac{1}{2^n}$$

Se me ocurrió esto: $$\sum_{i=1}^n-\frac{1}{n}$$ Mi lógica es que sé $1/n$ divergirían, y sé que sería menos que $1/2^n$ si pongo un signo negativo. ¿Estoy en lo cierto? Si no es así, ¿qué valor de an resolvería el problema?

Answer 1

Tienes razón. Si tuviéramos esa $$|a_n|\le \frac{1}{2^n}$$ entonces la serie convergería necesariamente por la prueba de comparación. Por lo tanto, la única forma de evitarlo es tener $|a_n|$ grande pero $a_n$ negativo.