Convergencia uniforme de $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\mathrm{ln}(n)^{x}}{n}$ .

Question

Dado que la serie $$\sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{\mathrm{ln}(n)^{p}}{n}$$ es convergente si $p<-1$ , demuestran que $$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\mathrm{ln}(n)^{x}}{n}$$ es uniformemente convergente como $x \in ]-\infty,p]$ donde $p<-1$ .

(Es de suponer que utilizando la prueba M de Weierstrass, pero me parece que falta el argumento).

Answer 1

Dejemos que $f_n(x)=\frac{(\ln(n))^x}{n}$ . Entonces tenemos $$ \sup_{(a,b)}|f_n(x)|=\sup_{(-\infty,p]}|\frac{(\ln(n))^x}{n}|\leq |\frac{(\ln(n))^p}{n}|,~(x\leq p<-1) \\ \leq |(\ln(n))^p|=(\ln(n))^p. $$ Tenemos que $$ \sum^{\infty}_{n=2}(\ln(n))^p<\infty,~p<-1 $$ por lo que tenemos una convergencia uniforme.