Cómo demostrar que $\sqrt[3]{BC^2}=\sqrt[3]{BD^2}+\sqrt[3]{CE^2}$ .

Question

Entonces tenemos que ABC es un triángulo rectángulo en A, AH es la altura, HD, HE son respectivamente la altura del triángulo AHB y AHC. Demostrar que $\sqrt[3]{BC^2}=\sqrt[3]{BD^2}+\sqrt[3]{CE^2}$ .

Intento usar el teorema de Pitágoras, pero sólo termino en $BC^2=3(AH^2)+BD^2+CE^2$ y no sé a dónde ir después o tal vez elijo el camino equivocado También intento usar lo que estamos probando y simplificarlo también pero no hay suerte. Parece fácil, pero acabo de empezar a estudiar Geometría (todavía es difícil para mí), así que espero que todo el mundo aquí pueda ayudarme.

Answer 1

Aviso $\triangle ABC \sim \triangle HBA \sim DBH$ tenemos $$\frac{AB}{BC} = \frac{HB}{BA} = \frac{DB}{BH} \implies \frac{DB}{BC} = \left(\frac{AB}{BC}\right)^3 $$ De la misma manera, $\triangle ABC \sim \triangle HAC \sim \triangle EHC$ lleva a $$\frac{AC}{BC} = \frac{HC}{AC} = \frac{EC}{HC}\implies \frac{EC}{BC} = \left(\frac{AC}{BC}\right)^3$$ Esto implica $$\sqrt[3]{\frac{DB^2}{BC^2}} + \sqrt[3]{\frac{EC^2}{BC^2}} = \frac{AB^2 + AC^2}{BC^2}$$ Desde $\angle CAB = 90^\circ$ por el teorema de Pitágoras, el lado derecho es $1$ y hemos terminado.