Un módulo completamente reducible es artiniano si y sólo si es noetheriano.

Question

Supongamos que $M$ es un módulo completamente reducible sobre un anillo $R$ Es decir, $$M=\bigoplus_{\alpha\in J}M_\alpha$$ donde cada $M_\alpha$ es un irreducible $R$ -(irreducible significa que no tiene ningún submódulo propio no trivial).

Demostrar que $M$ es artiniano si y sólo si es noetheriano.

Este es el problema 7 (en la página 122) de $\S$ 3,5 en Jacobson's Álgebra Básica II (2ª edición). Jacobson ya demostró la siguiente caracterización de los módulos completamente reducibles (en la página 121), pero no consigo ver cómo utilizarla.

Teorema 3.10. Las siguientes condiciones en un módulo $M \neq 0$ son equivalentes:

1. $M = \sum M_\alpha$ donde el $M_\alpha$ son irreducibles.

2. $M$ es completamente reducible.

3. El entramado $L(M)$ de submódulos de $M$ se complementa, es decir, para cada submódulo $N$ de $M$ existe un submódulo $N'$ de $M$ tal que $M = N \oplus N'$ .

¿Alguna pista sobre cómo resolver esto? ¿Alguna intuición también?

Answer 1

Si $M$ es artiniano o noetheriano, entonces el conjunto de índices $J$ es finito.Todo módulo irreducible es noetheriano y artiniano.