$f\in L^1(0,1)$ Supongamos que $\int_{0}^{1}f(t)t^{2n}=0$ para todo n=1,2,3... demostrar que $f=0$ a.e

Question

$f\in L^1(0,1)$ Supongamos que $\int_{0}^{1}f(t)t^{2n}=0$ para todo n=1,2,3... demostrar que $f=0$ a.e

Mi trabajo, puedo demostrarlo cuando $f\in C[0,1]$ .

$\int f^2= \int|f||f|=\int|f||f-p+p|=\int|f||f-p|+|f||p|$ .

Sé cómo proceder a partir de aquí.

donde P es de la forma $p= \sum_{n=0}^{\infty}c_nt^{2n}$ .

Pero mi pregunta es qué pasa cuando $f\in L^1(0,1)$ . ¿Puedo seguir utilizando un teorema de aproximación?

Aquí está mi trabajo según @Oliver Diaz.

$A=\{f\in C[0,1]\ such\ that\ f(0)=0\}$ y $B=\operatorname{span}(x^{2n}, n=1,2,3..)$ podemos demostrar $B$ es denso en $A$ .

Tomemos $f\in A$ entonces considera, para cada $\epsilon>0$ entonces existe un $p\in B$ tal que $\sup\{f-p\}\leq \epsilon$ $|\int_{0}^{1}f^2|=|\int_{0}^{1}f.f|=|\int_{0}^{1}f.(f-p+p)|\leq|\int_{0}^{1}f.(f-p)|+|\int f.p|=\int_{0}^{1}|f.(f-p)|+|\int f.p|$

aquí $|\int f.p|=0$ (del supuesto)

entonces $|\int_{0}^{1}f^2|\leq \int_{0}^{1}|f|.|(f-p)|\leq \int_{0}^{1} M.\epsilon=M.\epsilon$

Y entonces, podemos concluir que $f^2=0\ implies\ f=0.$

Ahora tomemos $g\in L^1[0,1]$ según el hecho de @Oliver A es denso en $L^1 norm$ . lo que tengo que demostrar es que si

Aquí, estoy un poco atascado. ¿Cómo puedo probar su afirmación $$\int^1_0 g\mathbb{1}_{(a,b]}=0$$ .

Answer 1

Esto es un esbozo de prueba. Intenta completar los detalles que faltan.

Denotemos por $m$ la medida de Lebesgue en $[0,1]$ .

Basta con suponer que, además de ser integrable, $f$ es medible en Borel (cualquier función medible en Lebesgue es igual a $m$ -a.s. a una función medible de Borel).

1. El espacio de polinomios en $t^2$ con término constante no nulo es denso en $A:=\{f\in C([0,1]): f(0)=0\}$ (norma uniforme). Esto se deduce del teorema de Stone-Werstrass.

2. $A$ es denso en $L_1$ en particular, se puede aproximar cualquier $\mathbb{1}_{(a,b]}$ por elementos de $A$ (en el $L_1$ -norma). De ello se deduce que $$\int^1_0 f\mathbb{1}_{(a,b]}=0$$ para todos $0\leq a<b\leq 1$ .

3. La conclusión entonces debería ser fácil (argumentos de clase monótona, por ejemplo ).

---

Edit : esquema de la prueba de (3): Sea $\mathcal{D}$ sea la colección de todos los conjuntos medibles de Borel $C$ en $[0,1]$ tal que $\int_Cf=0$ . Como resultado de las partes (1) y (2),

• a. $\mathcal{D}$ contiene la colección $\mathcal{C}$ de todos los intervalos $[a,b]\subset[0,1]$ (Obsérvese que si $\int_{(a,b]}f=0$ Así es $\int_{[a,b]}f$ para la medida de Lebesgue de $\{0\}$ es $0$ .)

• b. $\mathcal{D}$ es un $\lambda$ -sistema:

  b.1. $[0,1]\in D$ (obvio por (a));

  b.2. si $B,C\in \mathcal{D}$ y $B\subset C$ entonces $C\setminus B\in \mathcal{D}$ (la integrabilidad de $f$ implica $\int_Cf-\int_Bf=\int_{C\setminus B}f$ );

  b.3. si $\{B_n:n\in\mathbb{N}\}\subset \mathcal{D}$ y $B_n\subset B_{n+1}$ entonces $\bigcup_nB_n\in\mathcal{D}$ (convergencia dominada)

• c. $\mathcal{C}$ es un $\pi$ -sistema, es decir, es cerrado bajo intersecciones.

• d. Por el teorema de la clase monótona de Dynkin $\sigma(\mathcal{C})\subset \mathcal{D}$ . Pero como el Borel $\sigma$ -Álgebra, $\mathscr{B}([0,1])$ se genera por $\mathcal{C}$ ( es decir $\mathcal{B}([0,1])=\sigma(\mathcal{C})$ ), tenemos que $\int_Bf=0$ para todos $B\in\mathscr{B}([0,1])$ .

La frase clave: $\{f\neq0\}\in\mathscr{B}([0,1])$ y así, $\int_{\{f\neq0\}}f=0$ . Esto implica que $m(\{f\neq0\})=0$ Es decir $f=0$ $m$ -casi seguro.