Hallar la fdp a partir del vector medio y la matriz de covarianza

Question

Let X denote a Gaussian column vector with mean vector mx=[2,3]T,and co-variance matrix  
Cx=[1 0,0 1 ].the random vector Y=AX, where A=[ -1  -2,2  3].

a) Determine E[Y]

Y=AX
E(Y)=A*E(X)= [ -1  -2,2  3]*[2,3]= [-8 ]
                                     13

b) Find and simplify the co-variance matrix of Y

cov[Y,Y]=E[(y-my)(Y-my)T]=E[(A*X-my)(A*X-my)T]
        =A*E[(X-mx)(X-mx)T]AT
        =[-1 -2,2 3][1 0,0 1][-1 2,-2 3]
        =[5   -8,-8  13]

c) Completely specify the probability density function of vector Y

cómo responder a la parte c. T es la transposición. He calculado el valor esperado de Y y la matriz de covarianza de Y.

Answer 1

Sabes que una transformación lineal de un vector gaussiano, es gaussiana. El pdf de un $n-$ vector gaussiano de media $μ$ y la matriz de covarianza $Σ$ es:

$$ f(\Bbb{x})= \frac{1}{\sqrt{ (2π)^n \det(Σ)}} \exp\left( {-\dfrac12 ({x-\mu})^T\ \Sigma^{-1}\ {(x-μ)} } \right)$$

Así que hay que invertir la matriz $Σ$ y puedes sustituirlo.