¿Qué es lo que falla en esta lógica de la prueba?

Question

Tratando de demostrar que el conjunto vacío $ \emptyset \subseteq A $ para cualquier conjunto $ A $ .

Dejemos que $ x \in \emptyset $ entonces, por definición, $ x \in \emptyset \iff (x \neq x) $ .

$ x \in \emptyset \implies (x \neq x) \lor P $ donde $ P $ es cualquier declaración

Dejemos que $ P $ sea $ (x \in A) $ entonces $$ x \in \emptyset \implies (x \neq x) \lor (x \in A). $$ Pero $ (x \neq x) $ es falso entonces podemos escribir $$ x \in \emptyset \implies (x \in A),$$ lo que equivale a $ \emptyset \subseteq A $ .

¿Es esto correcto?

Answer 1

Es más fácil observar que $x \in \emptyset$ es falso, por lo tanto $x \in \emptyset \Rightarrow x \in A$ es verdadera para un $x$ . Todo" $\Rightarrow$ " -conclusión que hace en base a una premisa falsa es verdadera trivialmente. Esto es fácil de demostrar con la ayuda de una tabla de verdad.

Answer 2

La prueba "normal" es "vacua", como se dice.

Si $X \not \subset A$ entonces hay algo de $x \in X$ y $x \not \in A$

Entonces, ¿hay algún $x \in \emptyset$ y $x \not \in A$ ? No hay (porque no hay $x \in \emptyset$ ), por lo que $\emptyset \subset A$ .