Límite de una función con ayuda de la fórmula de Euler

Question

He intentado obtener el límite de una función, pero no sé cómo.

• La función es $\displaystyle{10^{n}\left(1 - \mathrm{e}^{\mathrm{i}t/10^{\,n}}\,\right)}$ y la solución dice que esto converge a $-\mathrm{i}t$ como $n \to \infty$ .
• La solución también me decía que hiciera uso de la fórmula de Euler. No tengo ni idea de cómo llegaron a $-\mathrm{i}t$ .
• Siempre que intento escribir $\mathrm{e}^{\mathrm{i}t/10^{n}} = \cos\left(t/10^n\right) + \mathrm{i}\,\sin\left(t/10^{n}\right)$ mi función converge a $0$ .

¿Qué he hecho mal?

Gracias.

Answer 1

Según la sección de comentarios, haga la sustitución $u = \frac{t}{10^n}$ de manera que se está calculando el límite $$\lim_{u \to 0} \frac{t\left(1 - \cos u - i\sin u\right)}{u} = \lim_{u \to 0} \frac{t(1-\cos u)}{u} - \lim_{u\to 0} \frac{it \sin u}{u}$$

Ahora, haciendo uso de los límites estándar $\lim_{x\to 0}\frac{1 - \cos x}{x}= 0$ y $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ tenemos

$$\lim_{u \to 0} \frac{t(1-\cos u)}{u} - \lim_{u\to 0} \frac{it \sin u}{u} = t \cdot 0 - it \cdot 1 = -it$$