¿Existe una similitud entre un proceso de salto y un proceso de recuento ya que ambos siguen una distribución de Poisson

Question

He leído que un salto en el precio de una acción puede modelarse como un proceso de Poisson. Pero también he leído que un proceso de Poisson es un buen modelo para un proceso de recuento (es decir, el número de visitas a un sitio web por unidad de tiempo).

Intuitivamente, no soy capaz de ver la relación entre un proceso de salto y un proceso de recuento. ¿Cómo se modelan ambos procesos con un proceso de Poisson?

Answer 1

Los precios de los activos se modelaron inicialmente como un movimiento browniano. Una propiedad de un movimiento browniano es que es un proceso (a.s.) continuo. Puede parecer una locura dada la forma en que se suele representar en los gráficos, pero es cierto.

Algunas personas han observado que los precios de los activos no parecen ser siempre continuos. Parecen saltar de sus continuidades de vez en cuando. Así es como se introdujeron los modelos de difusión de saltos, en los que se combina la difusión gaussiana con los saltos de Poisson. El proceso de Poisson es discreto, por lo que es discontinuo.

La siguiente imagen la tomé prestada de este sitio . Este tipo de gráficos suelen ser la motivación de los modelos de difusión de saltos. Creo que estos saltos son algo más evidentes en el comercio de energía. En los precios de las acciones no son fáciles de establecer. Dado que obtenemos datos en intervalos de tiempo finitos, no es tan obvio decir si un cambio de precio es parte de la difusión o un salto.

Convenientemente, el proceso de salto-difusión resulta ser un caso especial de los procesos de Levy, que tienen una bonita teoría desarrollada. Por eso son bastante populares, y no porque haya una intuición clara de por qué los saltos tienen que ser de Poisson en los precios de los activos.

Por otro lado, la distribución de Poisson se desarrolló específicamente para los procesos de recuento. Por ejemplo, puede aplicarse a las mediciones de detectores de radiación, como los contadores Geiger. Poisson se ajusta perfectamente a estas cosas, y la intuición está ahí.

Por lo tanto, yo diría que el vínculo es únicamente a través del uso de la distribución de Poisson: en un caso por conveniencia, y en otro de forma natural.