¿Prueba ZF que hay más cardenales que elementos de cualquier conjunto?

Question

En ZFC, es fácil demostrar que hay más cardinales que elementos de cualquier conjunto. En concreto, dado un conjunto $X$ , elija un buen ordenamiento de $X$ y luego puede inyectar $X$ en los cardenales mediante la asignación de su $\alpha$ a los elementos de $\aleph_\alpha$ .

Mi pregunta es si esto se puede demostrar en ZF (donde "cardinal" se interpreta de la forma adecuada en ausencia de elección, no restringida a cardinalidades bien ordenadas). Para ser precisos, ¿puede ZF demostrar lo siguiente?

Para cualquier conjunto $X$ existe una función $f$ en $X$ tal que para cualquier $x,y\in X$ no existe una biyección entre $f(x)$ y $f(y)$ .

Imagino que la respuesta es no, pero realmente no sé nada sobre cómo se podría demostrar tal afirmación global sobre los cardenales en un modelo de ZF para obtener un contraejemplo.

Answer 1

Al menos ZFA no puede demostrar esta afirmación. El modelo construido aquí debería ser el modelo estándar de ZFA donde falla la elección para familias de conjuntos de tamaño 2.

Empezar con un modelo de ZFA con un conjunto contable $A$ de los átomos. Etiqueta los elementos de $A$ como $a_n^i$ con $n<\omega$ y $i<2$ . Piensa en $a_n^0, a_n^1$ de pares y el conjunto $A$ como un conjunto infinito de estos pares. Sea $G$ sea el grupo de permutaciones $\pi$ de $A$ que tal vez intercambien pares, pero no hacen nada más, es decir $\pi(a_n^i)\in\{a_n^i, a_n^{1-i}\}$ para todos $n<\omega, i<2$ . Sea $\mathcal F$ sea el filtro generado por $\mathrm{fix}_G(E)$ où $E$ abarca los subconjuntos finitos de $A$ . Esto induce un modelo de permutación $\mathcal V$ de conjuntos hereditariamente simétricos. Nótese que el grupo $G$ es conmutativo. Esto tiene la siguiente consecuencia: Como es habitual, cualquier $\pi\in G$ expide a un automorfismo $\pi^+$ de $\mathcal V$ . Si $X\in\mathcal V$ entonces $\pi^+\upharpoonright X:X\rightarrow\pi^+(X)$ es una biyección que se encuentra en $\mathcal V$ . La razón es que $\pi^+$ se desplaza con cualquier otro $\mu^+$ , $\mu\in G$ lo que es suficiente para ver que $\pi^+\upharpoonright X$ es (hereditariamente) simétrica.

Si $f:A\rightarrow\mathcal V$ es una función en $\mathcal V$ , entonces para un número cofinanciado de $n$ , $f(a_n^0)$ y $f(a_n^1)$ no pueden ser significativamente diferentes (ya que eso violaría la simetría). En particular, no pueden tener un tamaño diferente: Sea $\mathrm{fix}_G(E)$ , $E\subseteq A$ finito, ser un apoyo para $f$ . Encuentre cualquier $n<\omega$ tal que $a_n^0, a_n^1\notin E$ y que $\pi$ sea la permutación de $A$ que intercambia $a_n^0, a_n^1$ y es la identidad en todas las demás partes (observe que $\pi\in\mathrm{fix}_G(E)$ ). Entonces $$f(a_n^1)=f(\pi(a_n^0))=\pi(f)(\pi(a_n^0))=\pi(f(a_n^0))$$ Ahora $\pi^+\upharpoonright f(a_n^0)$ es una biyección entre $f(a_n^0)$ y $\pi(f(a_n^0))=f(a_n^1)$ en $\mathcal V$ .

No estoy muy seguro en este momento de cómo convertir esto en un modelo de ZF con la misma propiedad...