Me interesa la teoría de las formas modulares, ya que tienen bonitas leyes de transformación y una conexión con la aritmética mediante el producto de Euler que se puede formar utilizando la teoría de los operadores de Hecke.
El espacio vectorial de las formas modulares con respecto a $\Gamma_0(N)$ puede descomponerse en las llamadas formas nuevas y antiguas. Mi pregunta:
Gracias
Si $M$ divide $N$ y $d$ divide $N/M$ entonces para cualquier forma modular $f(\tau)$ en $\Gamma_0(M)$ la función $f(d\tau)$ es una forma modular en $\Gamma_0(N)$ .
Vamos a escribir $V_N$ para el espacio vectorial de las cuspformas en $\Gamma_0(N)$ (de algún peso fijo). Entonces el mapa anterior, es decir $f(\tau) \mapsto f(d\tau)$ da una incrustación de $V_M$ en $V_N$ ; escriba $V_{M,d}$ su imagen.
Entonces el espacio de formularios antiguos en $V$ es el subespacio de $V$ que se obtiene de la suma de todos los adecuado divisores $M$ de $N$ y todas las posibles opciones correspondientes de $d$ de los subespacios $V_{M,d}$ . Utilizamos la palabra antiguo para ellos porque estas formas, aunque tienen nivel $N$ en realidad provienen de un nivel más pequeño (a saber $M$ ), por lo que son "viejos" desde el punto de vista del nivel $N$ . El espacio de nuevos formularios es el complemento ortogonal en $V$ del espacio de las formas antiguas; elementos de $V$ son realmente nuevos en el nivel $N$ De ahí su nombre.
En resumen, algunas formas en $\Gamma_0(N)$ también son formularios para $\Gamma_0(M)$ para $M < N$ . No se ajustan tan bien a todos los patrones, por lo que llamamos a las formas que no son en $\Gamma_0(M)$ para $M < N$ un nombre especial: "newforms".
Esto no es tan nuevo. Por ejemplo, cuando se observan los polinomios ciclotómicos, todos los $n$ Las raíces de la unidad no son las mismas. Por ejemplo, $e^{2\pi i/3}$ es una tercera raíz de la unidad y una sexta raíz de la unidad (y la duodécima... y así sucesivamente). Pero, ¿acaso realmente pensar en ello como una sexta raíz de la unidad? La llamamos raíz tercera primitiva de la unidad, y las raíces sextas primitivas de la unidad son simplemente las raíces sextas de la unidad que no son una $M$ raíz de la unidad para algunos $M < 6$ . Es la misma idea.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
