Cubiertas Etale de la línea afín

Question

En la característica p existen coberturas etale no triviales de la línea afín, como las que se obtienen al unir las soluciones de x^2 + x + f(t) = 0 para f(t) en k[t]. Utilizando un cálculo de cohomología etale con la secuencia de Artin-Schreier creo que se puede demostrar que, al menos, la abelianización del grupo de Galois absoluto es terrible.

¿Qué se sabe del grupo de Galois absoluto de la línea afín en característica p? Además, ¿pueden darse espacios que no sean A^1 (o extensiones de A^1 a un campo base mayor) como cubiertas?

Answer 1

En respuesta a su segunda pregunta, http://arxiv.org/abs/math/0207150 afirma que "toda curva sobre un campo infinito de característica p>0 admite un mapa a P^1 ramificado sobre un solo punto un punto". El artículo anterior demuestra un resultado más general, y cita el resultado sobre las curvas a un artículo de Katz.

Answer 2

La afirmación sobre los grupos finitos que aparecen como grupos de Galois de cubiertas etale de la línea afín -cualquier grupo que no tenga un cociente no trivial de orden primo a p- se debe a Raynaud, no a Harbater. (Harbater extendió el teorema de Raynaud a curvas afines arbitrarias).