Cubiertas Etale de la línea afín

Question

En la característica p existen coberturas etale no triviales de la línea afín, como las que se obtienen al unir las soluciones de x^2 + x + f(t) = 0 para f(t) en k[t]. Utilizando un cálculo de cohomología etale con la secuencia de Artin-Schreier creo que se puede demostrar que, al menos, la abelianización del grupo de Galois absoluto es terrible.

¿Qué se sabe del grupo de Galois absoluto de la línea afín en característica p? Además, ¿pueden darse espacios que no sean A^1 (o extensiones de A^1 a un campo base mayor) como cubiertas?

Answer 1

En efecto, se puede obtener cualquier género que se desee incluso con un grupo de Galois fijo G, siempre que su orden sea divisible por p: este es un resultado de Pries: .pdf aquí.

De hecho, Pries tiene muchos artículos sobre lo que puede ocurrir exactamente; si se consultan sus artículos y los que se citan en ellos, se obtendrá una imagen bastante completa.

No conocemos el grupo de Galois de la línea afín, pero sí sabemos qué grupos finitos aparecen como sus cocientes; este es un resultado de Harbater de 1994 ("Conjetura de Abhyankar para grupos de Galois sobre curvas"). Actualización : Como ha señalado un comentarista, Harbater demostró este hecho para una curva afín arbitraria; la afirmación para la línea afín fue un teorema anterior de Raynaud.

Answer 2

Como excusa para hablar de uno de mis resultados favoritos, he pensado en poner esto (aunque ya se lo he comentado a Tyler en privado).

Abhyankar conjeturó que la colección de cocientes finitos del grupo fundamental étale de la línea afín en característica $p$ son exactamente los cuasi $p$ -grupos. Esto fue demostrado por Raynaud (como se mencionó anteriormente). Una afirmación un poco más complicada (para curvas generales) fue rápidamente demostrada por Harbater.

He aquí un resultado aún más interesante (en mi opinión):

Supongamos que $X$ una variedad proyectiva geométricamente conectada de dimensión sobre cualquier campo $K$ de característica positiva. Supongamos que $L$ un haz de líneas amplio en $X$ , $D$ un subesquema cerrado de dimensión inferior a $n$ y $S$ a $0$ -del locus regular de $X$ no cumple $D$ . Entonces existe un número entero positivo $r$ y un $(n+1)$ -de secciones linealmente independientes de $L^{\otimes r}$ sin cero común tal que el morfismo finito inducido $f : X \to P^n_K$ de $K$ -sistemas cumple las siguientes condiciones.

(1) Si $H$ denota el hiperplano en el infinito, entonces $f$ es étale lejos de $H$ .

(2) La imagen $f(D)$ está contenida en $H$ .

(3) La imagen $f(S)$ no cumple $H$ .

Esto fue demostrado por Abhyankar en la dimensión $1$ y el resultado general se debe a Kedlaya . La prueba es simplemente magnífica; es incluso más simple que su primera papel sobre el tema, que sólo funciona para campos infinitos $K$ .

Esto dice algo bastante notable: aunque, en la característica $0$ Los espacios afines son simplemente conectados, en característica positiva, cada contiene un abierto de Zariski que es una cubierta estal de un espacio afín. (Katz utiliza este tipo de truco en sus notas sobre Weil II).

Answer 3

Como afirman David Speyer y Clark Barwick, la respuesta a la segunda pregunta es la siguiente:

Cualquier curva proyectiva suave $C$ definido sobre un campo $k$ de característica positiva $p$ puede realizarse como una cubierta finita de la línea proyectiva sólo ramificada por encima de un punto.

He aquí una breve demostración constructiva basada únicamente en el teorema de Riemann-Roch. Se puede considerar como una ilustración de la teoría de Kedlaya prueba , que sólo se ocupa de las curvas.

• En primer lugar, existe una cobertura finita genéricamente etaria $C\to\mathbf P^1$ inducido por una función racional $f\in k(C)$ (de hecho, cualquier elemento de $k(C)-k(C)^p$ hará el trabajo).
• Denota por $R\in$ Div $(C)$ el divisor de ramificación (reducido) de la cubierta anterior (es decir, los puntos ramificados se citan sin multiplicidad). A partir del teorema de Riemann-Roch, para grandes $n$ existe una función racional $g\in k(C)$ tener un polo de orden $n$ en cada punto del soporte de $R$ . Podemos tomar $n$ estrictamente mayor que $\frac{\deg(f)}p$ .
• Entonces, la función racional $h=f+g^p$ induce una cobertura $C\to\mathbf P^1$ sólo se ramifica por encima del infinito.

Answer 4

He aquí un truco para generar muchos ejemplos sobre k = cierre algebraico de un campo finito (utilizado en las conjeturas de Weil). Tomemos cualquier curva suave C y un mapa genéricamente etale f:C -> P^1. Entonces hay algún abierto U en A^1 tal que V = f^{-1}(U) -> U es finito etale. El esquema reducido subyacente a A^1 - U es un conjunto finito de puntos cerrados que generan un subgrupo finito G del grupo aditivo A^1(k). La composición con el cociente A^1 -> A^1/G da un mapa V -> A^1 - 0 que es etale finito. La composición con la isogenia de Artin-Schreier A^1 - 0 -> A^1 enviando x a x^p + 1/x da un mapa V -> A^1 que es etale finito.

Answer 5

Veo que esta pregunta es de hace tiempo, pero he pensado en añadir este pequeño bocado: Manish Kumar demostró para su tesis que el subgrupo conmutador del grupo fundamental algebraico de A^1 (y, de hecho, de CUALQUIER curva afín suave) sobre un campo algebraicamente cerrado contable de característica p>0 es libre profinito. Más tarde (para asombro de la gente, ya que la afirmación original era sorprendente para empezar) continuó demostrando esto para cualquier campo algebraicamente cerrado de característica p>0 en este arxiv pre-print: http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0903/0903.4472v2.pdf