¿Cuándo una variedad de Stein es una variedad afín compleja? Había pensado que había un teorema que decía que una variedad que es Stein y tiene un anillo finitamente generado de funciones regulares implica afinidad, pero en los comentarios a mi respuesta aquí Se ha planteado el contraejemplo de Serre. Supongo que la respuesta es que el anillo de funciones regulares debe ser no trivial de alguna manera, como debe separar puntos, pero tengo curiosidad por saber cuál es la condición exacta.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Charlie, es gracioso responder de esta manera pero aquí está.
El criterio en el que estás pensando es un criterio relativo a una incrustación. Dice que si $X$ es una variedad normal compleja casi afín, cuyo espacio analítico asociado $X^{an}$ es Stein, entonces $X$ es afín si (y sólo si) el álgebra $\Gamma(X,\mathcal{O}_{X})$ está generada finitamente. Este es un teorema de Neeman.
Se puede reformular el requisito de $X$ siendo cuasi-afín como una propiedad de separación de puntos: para cualquier punto $x \in X$ considere el subconjunto $S_{x} \subset X$ definido como el conjunto de todos los puntos $y \in X$ tal que todas las funciones regulares sobre $X$ tienen valores iguales en $x$ y $y$ . Entonces por un viejo teorema de Goodman y Hartshorne $X$ es cuasi-afín si $S_{x}$ es finito para todo $x$ . Así que se puede decir que $X$ es afín si satisface: 1) $X^{an}$ es Stein; 2) $S_{x}$ es finito para todo $x \in X$ ; 3) $\Gamma(X,\mathcal{O}_{X})$ está generada finitamente.
