Media geométrica de la derivada fraccionaria

Question

¿Cuál es la media geométrica de la derivada fraccionaria (de orden $\alpha \in (0,1)$ ) para una función $f:\Bbb R \rightarrow \Bbb R$ ?
Por ejemplo $f$ está aumentando en $\Bbb R$ si $f'$ es positivo.

Answer 1

Derivada fraccionaria de Caputo para $\alpha \in (0,1)$ es

$\left(\frac{d}{dx}\right)^{\alpha}(f(t))$ = $\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}$$ \int_a^{t_0} $$\frac{f'(\tau)}{(t-\tau)^{\alpha}}$ .

Si $\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\int_a^{t_0} \frac{f'(\tau)}{(t-\tau)^{\alpha}}>0$ , entonces el gráfico de la función $\frac{f'(\tau)}{(t-\tau)^{\alpha}}$ está en la parte superior de $t$ -eje para $\tau \in (a,t_0)$

Por otro lado, si $f$ está aumentando en $t=t_0$ entonces $f'(t)>0$ para $t \in(t_0-\epsilon,t_0+\epsilon) $ . Suponemos que $a=t_0-\epsilon$ en la definición de la derivada fraccionaria. Por lo tanto, ya que ${(t-\tau)^{\alpha}}$ es positivo para $\tau \in (a,t_0)$ , signo de $f'(t)$ es igual al signo de $\left(\frac{d}{dx}\right)^{\alpha}(f(t))$ en $t=t_0$