Es $\mathbb{Z}[x]/(x^2+1)$ isomorfo a $\mathbb{Z}[i]$ ?

Question

Es $\mathbb{Z}[x]/(x^2+1)$ isomorfo a $\mathbb{Z}[i]$ ?

Mi intento es que tratar de definir un mapeo $g$ de $\mathbb{Z}[x]$ a $\mathbb{Z}[i]$ por $g(f(x))= f(i)$ , para $f(x)\in\mathbb{Z}[x]$ . Si es posible, entonces $\ker g$ es $(x^2+1)$ ? ¿Estoy en el camino correcto? Por favor, ayuda.

Answer 1

Sin duda, estás en el buen camino. Definamos un homomorfismo $\phi:\mathbb{Z}[x] \rightarrow \mathbb{Z}[i]$ de la siguiente manera:

$$\phi(f(x)) = f(i)$$

Es $\phi$ ¿un homomorfismo subjetivo? Ciertamente: considere cualquier $a+bi \in \mathbb{Z}[i]$ . Tenga en cuenta que $(bx + a) \mapsto (a+bi)$ . A continuación, debes convencerte de que $\ker(\phi) = \langle x^2+1 \rangle$ . En este punto, simplemente aplicamos el teorema del isomorfismo:

$$\mathbb{Z}[x]/\langle x^2+1 \rangle \cong \mathbb{Z}[i]$$