Es $\mathbb{A}²$ el esquema universal liso que es una cobertura finita de $\mathbb{A}²/μ₂$ ?

Question

Un (contra)ejemplo muy práctico en el que pienso a menudo es el esquema $Spec(k[a,b,c]/(ab-c^2))$ (donde $k$ es un campo), que también puede conocer como $Spec(k[x^2,xy,y^2])$ , ya que $\mathbb A^2/\mu_2$ o como el $A_1$ singularidad. Al igual que con otros (contra)ejemplos, me gustaría poder decir lo máximo posible sobre ella.

Existe una suryección finita $f:\mathbb A^2\to Spec(k[x^2,xy,y^2])$ correspondiente a la inclusión $k[x^2,xy,y^2]\subseteq k[x,y]$ . La cuestión es si esta suryección es en algún sentido universal.

Supongamos que $g:Y\to Spec(k[x^2,xy,y^2])$ es finito, suryente y $Y$ es un suave $k$ -esquema. Debe $g$ factor a través de $f:\mathbb A^2\to Spec(k[x^2,xy,y^2])$ ?

Un par de observaciones:

• La hipótesis de finitud en $g$ es definitivamente necesario. De lo contrario, podríamos tomar $Y$ para ser una resolución de la singularidad (por una explosión). Si dicha resolución se factoriza a través de $\mathbb A^2$ , se obtendría una sección de $f$ definido lejos de la singularidad, lo que implicaría que $f$ es una equivalencia birracional, que no lo es.
• La suposición de que $Y$ es un esquema es importante. El par de personas con las que he hablado han señalado que la pila suave $[\mathbb A^2/\mu_2]$ es una cubierta finita de $X$ . Si $[\mathbb A^2/\mu_2]$ que se ha tenido en cuenta en $\mathbb A^2$ , se obtendría de nuevo una sección racional de $f$ .

Answer 1

Me parece que en el caso global la respuesta debería ser $no$ por el siguiente argumento.

Set $S:=Spec$ $k[x,y,z]/(z^2-xy)$ . Entonces $S$ es isomorfo a un cono cuádrico en $\mathbb{A}^3$ . La cuestión es que hay muchas tapas dobles lisas de $S$ que son pares no isomorfos.

Para ver esto, observe primero que el morfismo $f \colon \mathbb{A}^2 \to S$ corresponde a la restricción de una cubierta doble $\mathbb{P}^2 \to$ (Cone $\subset \mathbb{P}^3$ ) ramificado en el vértice del cono y en una cónica suave contenida en el hiperplano en el infinito.

Ahora se puede generalizar esta construcción tomando una doble cobertura $f_k \colon Y_k \to S$ que es la restricción a $S$ de la cubierta proyectiva ramificada en el vértice y en una curva suave de $even$ grado $2k$ que no pasa por el vértice. El hecho de que $f_k$ se ramifica en el vértice asegura que $Y_k$ es suave.

Cuando $k=1$ tenemos $Y_1=\mathbb{A}^2$ .

Cuando $k=2$ , $Y_2$ es un subconjunto abierto y afín de una superficie lisa de tipo general con $p_g=4, q=0, K^2=5$ . Estas superficies fueron estudiadas por Horikawa en su famoso trabajo "On deformations of quintic surfaces"; resulta que la doble cobertura proyectiva es en realidad el mapa canónico.

Por supuesto $f_2$ no es un factor a través de $f$ ya que son recubrimientos del mismo grado pero $Y_2$ siendo de tipo general, no es isomorfo a $\mathbb{A}^2$ .

De hecho, $f_k$ no es un factor a través de $f$ excepto en el caso de $k=1$ .

Answer 2

Al menos en el caso completo (o henseliano), esto se generaliza. Supongamos que $R$ es un anillo local regular completo de dimensión al menos $2$ y $G$ un grupo finito de automorfismos de $R$ actuando libremente sobre $V=Spec\ R$ fuera del origen. Poner $X=V/G$ y supongamos que $S$ es otro anillo local regular completo con un morfismo suryente finito $Y=Spec\ S\to X$ .

Reclamación: $Y\to X$ factores a través de $V$ .

Prueba: Denotemos los espectros perforados por asteriscos. Tomemos el producto de fibras $W^*=V^*\times_{X^*}Y^*$ . Desde $V^*\to X^*$ es finito y etale, también lo es $W^*\to Y^*$ . Pero $Y^*$ es simplemente conectado ("pureza del locus de la rama"), por lo que $W^*\to Y^*$ tiene una sección. Componga esto con la proyección $W^*\to V^*$ para conseguir $Y^*\to V^*$ y extenderlo a través de los pinchazos para obtener $Y\to V$ .

Answer 3

Una cosa que me confundió sobre Respuesta de Francesco era cómo construir realmente la rama cubre $f_k:Y_k\to S$ que se ramifican sobre el vértice y una curva determinada. Ya que he sido lo suficientemente tímido como para no preguntar, tal vez alguien más (tal vez yo en el futuro) se beneficie de una descripción.

Dejemos que $g(x,y,z)$ sea un polinomio que no desaparece en el origen. Tenemos entonces dos interesantes mapas de grado 2 a $S=Spec(k[a^2,ab,b^2])$ :

• $\mathbb A^2\to S$ correspondiente a la inclusión $k[a^2,ab,b^2]\to k[a,b]$ . Piensa en $S$ como $\mathbb A^2/\mu_2$ , donde $\mu_2$ actúa por $(a,b)\mapsto (-a,-b)$ . Esto se ramifica sólo sobre el vértice, ya que $(0,0)$ es el único punto con un estabilizador no trivial.
• $S[\sqrt{g}]\to S$ (casi seguro que no es una notación estándar, ya que me lo acabo de inventar), correspondiente a la inclusión de anillos $k[a^2,ab,b^2]\to k[a^2,ab,b^2,\sqrt{g(a^2,ab,b^2)}]$ . Piensa en $S$ como $S[\sqrt g]/\mu_2$ , donde $\mu_2$ actúa por $\sqrt g\mapsto -\sqrt g$ . Esto se ramifica sobre el lugar de fuga de $g$ ya que ahí es exactamente donde tienes un estabilizador no trivial.

Podemos entonces definir una especie de refinamiento común, $\tilde Y=Spec(k[a,b,\sqrt{g(a^2,ab,b^2)}]$ que tiene una acción de $\mu_2\times \mu_2$ . Cociente por la primera $\mu_2$ nos da $S[\sqrt g]$ . Cociente por el segundo $\mu_2$ nos da $\mathbb A^2$ . El cociente por ambos le da $S$ . Definir $Y$ como el cociente por el diagonal $\mu_2$ acción, $(a,b,\sqrt g)\mapsto (-a,-b,-\sqrt g)$ . † Esta acción es gratuita ya que $g(0,0,0)\neq 0$ Así que $\tilde Y\to Y$ es en realidad una cubierta de etale. Si $V(g)\cap S$ es suave, $\tilde Y$ es suave, por lo que $Y$ es suave. Tenemos un resto $\mu_2$ acción sobre $Y$ con $Y/\mu_2 = S$ .

$$\begin{array}{cccccc} & & \tilde Y\\ & \swarrow & \downarrow & \searrow\\ \mathbb A^2 & & Y & & S[\sqrt g]\\ & \searrow & \downarrow & \swarrow \\ & & S \end{array}$$

† Se puede describir muy explícitamente el anillo de invariantes bajo esta acción. $Y$ es el espectro de $k[a^2,ab,b^2,a\sqrt g,b\sqrt g]$ . El $\mu_2$ acción sobre $Y$ es $(a^2,ab,b^2,a\sqrt g,b\sqrt g)\mapsto (a^2,ab,b^2,-a\sqrt g,-b\sqrt g)$ .