Inspirado por esta pregunta Me ha resultado curioso un comentario en este artículo :
En muchas situaciones, puede ser fácil aplicar la ley cero-uno de Kolmogorov para mostrar que algún evento tiene probabilidad 0 o 1, pero es sorprendentemente difícil determinar cuál de estos dos valores valores extremos es el correcto.
¿Podría alguien dar un ejemplo?
Hay un conjunto de buenos ejemplos de la teoría de la percolación: http://en.wikipedia.org/wiki/Percolation_theory
Si se crea una "red aleatoria" con una determinada probabilidad p de aristas entre nodos (véase el artículo anterior para conocer las definiciones precisas), entonces existe un cúmulo infinito con probabilidad cero o uno. Pero para un valor dado de p puede ser no trivial determinar cuál.
Estoy seguro de que debe haber situaciones en las que la respuesta es más difícil determinar, pero el ejemplo que me hizo interesarme por la Ley 0-1 (que conocí en una excelente charla de W. Russell Mann hace unos diez años) es el siguiente:
Dejemos que $a_n$ sea una secuencia de números reales (o complejos, o vectores en $\mathbb{R}^n$ o elementos de un espacio de Hilbert...), y que $(\epsilon_n)$ sea una secuencia de signos, es decir, para todo $n$ , $\epsilon_n \in \{\pm 1\}$ . Entonces, tomando el espacio de probabilidad $\{ \pm 1 \}^{\infty}$ de todas las secuencias de signos [producto directo infinito de la medida de probabilidad uniforme sobre $\{\pm 1\}$ ], el caso de que la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \epsilon_n a_n$ converge es un evento de cola por lo que tiene una probabilidad $0$ o $1$ . La cuestión es encontrar una condición necesaria y suficiente en la serie original $\sum_n a_n$ para que esta probabilidad sea $1$ .
El teorema Rademacher-Paley-Zygmund responde a esta pregunta. Aquí se presenta una discusión (¡no una prueba!) de este teorema y los problemas relacionados:
Estaba hojeando un libro que demuestra muchos resultados interesantes y bastante difíciles sobre el movimiento browniano ( enlace pdf , enlace al sitio web ), y parece que la ley cero-uno de Kolmogorov se aplica a la mayoría de ellos.
Utilizando las transformadas de Fourier, un movimiento browniano estándar X t en el rango 0≤t≤1 puede descomponerse como $$ X_t = At + \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{\sqrt{2}\pi n}\left(B_n(\cos 2\pi nt - 1)+C_n\sin 2\pi nt\right) $$ donde A, B n , C n son normales independientes con media 0 y varianza 1. De ello se deduce que cualquier propiedad del movimiento browniano que no cambie al añadir una combinación lineal de senos, cosenos y términos lineales es un evento de cola y, por la ley cero-uno de Kolmogorov, tiene probabilidad cero o uno. Por ejemplo, se sabe que el movimiento browniano no es diferenciable en ninguna parte (con probabilidad 1).
La cosa se pone más interesante si se observa el módulo de continuidad del movimiento browniano. Para cualquier tiempo t, la ley del logaritmo iterado dice que $$ \limsup_{h\downarrow 0}\frac{|X_{t+h}-X_t|}{\sqrt{2h\log\log (1/h)}}=1 $$ con probabilidad 1. A partir de esto, se puede decir que, con probabilidad uno, el movimiento browniano satisface este límite en casi todas partes (pero no en todas partes - hay momentos excepcionales). De forma más general, demuestran que, con probabilidad uno, lo siguiente es cierto en todo momento, $$ \limsup_{h\downarrow 0}\frac{|X_{t+h}-X_t|}{\sqrt{2h\log(1/h)}}\le 1,\ \limsup_{h\downarrow 0}\frac{|X_{t+h}-X_t|}{\sqrt{h}}\ge 1. $$ Con probabilidad uno, se alcanzan estos límites. Los tiempos en los que la desigualdad de la izquierda es una igualdad son tiempos rápidos y tiempos lentos son cuando el derecho es una igualdad. En el libro que enlacé, calculan muchas cosas sobre estos tiempos rápidos y lentos, como sus dimensiones fractales.
Según mi descomposición del movimiento browniano anterior, todas estas definiciones y afirmaciones se refieren a eventos de cola y sabemos que deben tener probabilidad 0 o 1 de ser verdad. De hecho, los conjuntos de tiempos lentos y rápidos se definen en términos de eventos de cola, por lo que cualquier Una afirmación medible sobre estos conjuntos debe ser siempre verdadera o siempre falsa con probabilidad uno, y cualquier función medible de ellos, como sus dimensiones fractales, debe ser una constante determinista con probabilidad uno, aunque sea difícil calcular lo que es. Lo mismo ocurre con muchas de las otras propiedades del movimiento browniano en el libro que enlacé - son eventos de cola y por lo tanto siempre verdaderos o falsos con probabilidad uno.
La teoría de la complejidad ofrece montones de ejemplos de este fenómeno.
Utilizando la ley cero-uno de Kolmogorov, se puede demostrar que Pr{A X \= B X } es 0 o 1, donde A X es la clase de problemas que puede resolver la clase de complejidad A con acceso al oráculo del lenguaje X. X se elige uniformemente entre todos los lenguajes. (El conjunto de todos los lenguajes es básicamente el conjunto de potencias de Z, por lo que se puede pensar en este conjunto como [0,1], y luego reformular la afirmación probabilística como una afirmación sobre la medida del conjunto para hacerla más precisa).
Aunque conocemos la respuesta a esta pregunta para algunos conjuntos de clases de complejidad, como P y NP (Pr{P X \= NP X }=0), estoy seguro de que hay muchas clases de complejidad para las que no sabemos la respuesta.
No puedo responder a la respuesta de Martin, así que hago una nueva.
La primera pregunta que uno se hace en la teoría de la percolación es si existe un cúmulo abierto infinito. La ley cero-uno se aplica porque, como dijo David Speyer más arriba, la existencia de un cúmulo infinito es invariable bajo cambios finitos de aristas. Equivalentemente, la existencia de un cúmulo infinito es un evento invariable por traslación. Por tanto, esta probabilidad es cero o uno, pero depende de p, el parámetro del sistema (la probabilidad de que un vínculo dado esté abierto). El hermoso teorema es que existe un parámetro crítico p c que sólo depende de la estructura de la red.
También se estudia la función
θ(p) = P p ( 0 es parte de un cúmulo abierto infinito ).
Ciertamente, si p < p c , entonces θ(p) = 0 ya que no hay ningún cúmulo abierto del que forme parte 0. Para otros valores de p, θ(p) no tiene por qué ser igual a uno, porque la ley cero-uno no se aplica: se puede cortar 0 de un cúmulo infinito mediante cambios finitos (hacer que los enlaces alrededor de 0 se cierren); del mismo modo, el evento no es invariable por traslación.
Como nota aparte, el ejemplo de David es una percolación crítica en la red Z 2 donde p c \= 1/2 (este valor no es trivial; Kesten lo demostró años después de que Hammersley presentara el modelo).
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