Gerbes y Stacks

Question

La definición de un gerbe en una variedad suave que conozco es que, después de fijar una cubierta abierta $U_i$, un gerbe consiste en los datos de haces de línea $L_{ij}$ en las intersecciones de dos abiertos $U_{ij}$, isomorfismos $\alpha_{ijk}: L_{ij} \otimes L_{jk} \longrightarrow L_{ik}$ en las intersecciones de tres abiertos que satisfacen una condición de cociclo en las intersecciones de cuatro abiertos.

Un gerbe en un sitio es un montón $G$, tal que para cada objeto $U$, existe una cubierta $U_i$ de $U$ tal que $F_{U_i}$ no está vacío para cada $i$ y para cualquier par de objetos $x_1$, $x_2$ en $G_{U}$, existe una cubierta $U_i$ de $U$ tal que $x_1|_{U_i}$ y $x_2|_{U_i}$ son isomorfos (es decir, los objetos existen localmente y son localmente isomorfos).

Mi pregunta es si estas dos nociones están relacionadas o si simplemente es el mismo nombre para cosas completamente diferentes. En particular: ¿Son los gerbes en una variedad un montón especial en el sitio pequeño de esa variedad? ¿Existe un funtor plenamente fiel de $2$-categorías que envíe gerbes sobre $M$ a montones sobre (el sitio pequeño de) $M$?

Answer 1

Su pregunta ha sido respondida por Reimundo Heluani pero permítame explicar las cosas en detalle. Supongamos que tiene un germen en una variedad suave $M$ en su sentido, dado por $(U_i, L_{ij}, \alpha_{ijk})$. Aquí hay un procedimiento para construir un montón a partir de estos datos:

i) Sea $P_i = U_i \times \mathrm{BGL}(1)$ para todo $i$. Un mapa $X \to P_i$ es lo mismo que un mapa a $U_i$ y un fibrado en línea en $X.

ii) Para cada par de índices $i, j$, un mapa $X \to U_i \times_M P_j$ es un mapa $f \colon X \to U_i \cap U_j$ y un fibrado en línea $L$ en $X. Ahora defina un $1$-morfo $\phi_{ij} \colon U_i \times_M P_j \to U_j \times_M P_i$ por la regla $(f,L) \mapsto (f, L \otimes f^\ast L_{ij})$.

iii) Para cada triplete de índices $i, j, k$ hay dos isomorfismos naturales $U_i \times_M U_j \times_M P_k \to U_k \times_M U_j \times_M P_i$ que podemos abusivamente denotar $\phi_{ik}$ y $\phi_{ij}\circ \phi_{jk}$, y el isomorfismo $\alpha_{ijk}$ define un $2$-morfismo entre ellos.

iv) Para cada superposición cuádruple, la condición de cociclo para los $\alpha$ asegura que estos $2$-morfismos conmutan estrictamente.

Así obtenemos datos de pegado que nos permiten unir todos los $P_i \to U_i$ en un montón $P \to M$, que localmente es un "fibrado de $\mathrm{BGL}(1)$".

Answer 2

Aquí hay una forma de verlo: las gerbes en $M$ forman un bigrupoide (= bicategoría cuyos morfismos y 2-morfismos son todos invertibles).

En particular, si $\mathcal{G}$ es una gerbe sobre $M$, y $\mathcal{I}_M$ denota la gerbe trivial sobre $M$ (cubierta trivial $\{M\}$, fibrados en línea triviales, isomorfismo trivial) entonces tenemos un grupoide $Hom(\mathcal{G},\mathcal{I}_M)$ de "trivializaciones".

Define $$ U \mapsto Hom(\mathcal{G}|_U,\mathcal{I}_U). $$ Esta es tu pila en el sitio de los conjuntos abiertos de $M$.

Answer 3

Hay una equivalencia canónica de $2$-categorías

$$St\left(Man/M\right) \simeq St\left(Man\right)/M$$ entre montones en el sitio grande de $M$ y montones en el sitio de variedades equipadas con un mapa a $M$ (considerando a $M$ como un haz representable). Dado un mapa $\pi:\mathscr{Y} \to M$ para $\mathscr{Y}$ algún montón en variedades, corresponde al montón $\Gamma(\mathscr{Y})$ en $Man/M$ que asigna a un mapa $f:N \to M$ el grupoide de secciones $N \to \mathscr{Y}$ de $\pi$ sobre $f.$ Supongamos que hay una cobertura de $U_i$ de $M$ tal que cada $U_i \times _M \mathscr{Y}\simeq U_i \times BU(1)$ (o si prefieres $U_i \times BGL(1)$). Entonces $\Gamma(\mathscr{Y})$ se ve fácilmente que es un gerbo en el sitio grande para $M$. Por la respuesta de Dan Peterson, vemos que a partir de los datos de un gerbo de haces, uno obtiene un montón $\pi:\mathscr{Y} \to M$ con esta propiedad. De hecho, no es difícil mostrar que estos son datos equivalentes, es decir, dado $\pi:\mathscr{Y} \to M$ tal que haya una cobertura $U_i$ tal que $U_i \times _M \mathscr{Y}\simeq U_i \times BU(1)$ es lo mismo que dar un gerbo de haces en $M$. Al tomar cada gerbo de haces $\pi:\mathscr{Y} \to M$ y enviarlo a $\Gamma(\mathscr{Y})$, se obtiene una incrustación plenamente fiel de la $2$-categoría de gerbos de haces sobre $M$ en la $2$-categoría de gerbos sobre el sitio grande de $M$ (que además se incrusta plenamente fielmente en montones en el sitio grande de $M$). La imagen es precisamente aquellos gerbos en el sitio $Man/M$ que están bandeados por $U(1)$, como señaló Reimundo Heluani. Sin embargo, no se incrusta en la $2$-categoría de montones en el pequeño sitio de $M$.