Encontrar la matriz estándar para la transformación lineal

Question

Se nos pide que encontremos la matriz estándar $A$ para $T$ :

Considere la transformación $T : \mathbb{R^3} \rightarrow \mathbb{R^4}$ dado por

$$T(x_1, x_2, x_3) = (x_1 + x_2 + x_3, x_2 + x_3, 3x_1 + x_2, 2x_2 + x_3)$$ por cada $$(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R^3}$$

Estoy confundido. No sé cómo iniciar el problema. He investigado la descripción pero no encuentro nada definitivo para este tipo de problema.

Actualización:

$$ A = \left[\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 3 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 1\\ \end{array}\right] $$

$$ ref(A) = \left[\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ \end{array}\right] $$

Desde $T(e_1)=(1,0,3,0)^T, T(e_2)=(1,1,1,2)^T, T(e_3)=(1,1,0,1)^T$

¿Es esto correcto? ¿O estoy completamente perdido?

¿Cómo puedo encontrar la dimensión del núcleo de $T$ y la gama de $T$ ?

Answer 1

Se nos pide que encontremos la matriz estándar $A$ para $T$ :

Considere la transformación $T : \mathbb{R^3} \rightarrow \mathbb{R^4}$ dado por

$$T(x_1, x_2, x_3) = (x_1 + x_2 + x_3, x_2 + x_3, 3x_1 + x_2, 2x_2 + x_3)$$ por cada $$(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R^3}$$

Su actualización es correcta $A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ .

Básicamente estamos resolviendo $T(x)=Ax$ donde $x$ es el vector que contiene las entradas $(x_{1},x_{2},x_{3})$ y $A$ es la matriz estándar para $T$ .

$$\begin{align}T(x) &= T(x_1, x_2, x_3) \\ &= (x_1 + x_2 + x_3, x_2 + x_3, 3x_1 + x_2, 2x_2 + x_3)\\ &=\begin{bmatrix}x_{1}+x_{2}+x_{3} \\ 0x_{1}+x_{2}+x_{3} \\3x_{1} +x_{2} +0x_{3} \\ 0x_{1}+2x_{2}+x_{3}\end{bmatrix}\\ &=x_{1}\begin{bmatrix} 1\\0\\3\\0\end{bmatrix}+x_{2}\begin{bmatrix}1\\1\\1\\2\end{bmatrix} +x_{3}\begin{bmatrix}1\\1\\0\\1\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix} \\ &=Ax \\ \end{align}$$

Así, $A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ .