¿En qué sentido los campos son una teoría algebraica?

Question

Dado que no existe un "campo libre generado por un conjunto", parece que

1) no hay ninguna mónada en Set cuyas álgebras sean exactamente los campos

y

2) no hay ninguna teoría de Lawvere cuyos modelos en Set sean exactamente los campos

(¿Son 1) y 2) correctas?)

Los campos no forman una variedad de álgebras en el sentido del álgebra universal, ya que los axiomas de campo no pueden escribirse como identidades (ya que el axioma de las inversiones multiplicativas tiene la restricción de que el elemento sea distinto de cero).

Supongo que los campos son una teoría algebraica en el sentido más general del álgebra universal de estar definidos por operaciones sobre un único conjunto con un conjunto de axiomas de primer orden.

¿Hay algún sentido mejor en el que sean algebraicos o simplemente los campos no son realmente algebraicos por naturaleza?

Answer 1

Las teorías algebraicas son las definidas en las álgebras universales y formalizadas por B. Lawvere en el formalismo categórico. Pero esto es sólo el primer nivel elemental de lo que se llama "Lógica Categórica", en las categorías "correctas" es posible formalizar el "lenguaje y los términos" utilizados en las lógicas posteriores, por ejemplo $\exists$ , $\Rightarrow $ , ecc.. Para definir una estructura de campo (más allá de la maquinaria utilizada para los anillos) es necesario utilizar la función existencial $\exists$ o el "no", algo similar para definir la noción de "anillo conmutativo local". Ver P. Johnstone "Topos Theory" o (mucho) mejor "Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium 2"

Answer 2

Utilizando el lenguaje de clasificación dado en Adamek/Herrlich/Strecker ("Abstract and Concrete Categories", Dover, 2009), toda categoría esencialmente algebraica es necesariamente completa, cocompleta y bien potenciada; como se señaló anteriormente, el constructo Campo no tiene objetos terminales, por lo que no es completa, por lo que no es una construcción esencialmente algebraica.

Sin embargo, tiene una propiedad algebraica central y crucial, a saber, que es una construcción cuasi-algebraica: el functor de olvido de Campo a Set refleja los isomorfismos. Esta noción se da en Denniston/Melton/Rodabaugh, Fuzzy Sets and Systems 256 (2014), 4-56. Si un functor olvidadizo es únicamente transportable y (generador, monofuente) factorizable, entonces cuasi-algebraico es equivalente a esencialmente algebraico-véase la sección 23 de Adamek/Herrlich/Strecker. Como estas condiciones adicionales no parecen intuitivamente muy algebraicas, parecería desde este punto de vista categórico que Campo sí tiene carácter algebraico real por ser cuasi algebraico.