¿En qué sentido los campos son una teoría algebraica?

Question

Dado que no existe un "campo libre generado por un conjunto", parece que

1) no hay ninguna mónada en Set cuyas álgebras sean exactamente los campos

y

2) no hay ninguna teoría de Lawvere cuyos modelos en Set sean exactamente los campos

(¿Son 1) y 2) correctas?)

Los campos no forman una variedad de álgebras en el sentido del álgebra universal, ya que los axiomas de campo no pueden escribirse como identidades (ya que el axioma de las inversiones multiplicativas tiene la restricción de que el elemento sea distinto de cero).

Supongo que los campos son una teoría algebraica en el sentido más general del álgebra universal de estar definidos por operaciones sobre un único conjunto con un conjunto de axiomas de primer orden.

¿Hay algún sentido mejor en el que sean algebraicos o simplemente los campos no son realmente algebraicos por naturaleza?

Answer 1

Los campos no son algebraicos. Una teoría algebraica, por ejemplo, tiene objetos libres: hay anillos libres, grupos libres, un monoide libre. El functor libre es adjunto al functor olvidadizo a conjuntos (vale, estoy hablando de modelos en conjuntos). Sin embargo, no hay campos libres.

Se puede extender la idea de una "teoría algebraica" a una "teoría esencialmente algebraica" en la que se permiten operaciones parcialmente definidas (no me queda claro que los campos satisfagan esas, ya que hay que especificar el dominio en términos de otras operaciones, mientras que parece que sólo se puede especificar el dominio de la inversa como el complemento de dicho subconjunto). O, (tal vez, pero lo dudo), se podría definir un campo como un Z ₂ -teoría algebraica graduada donde 0 está en grado 0 y todo lo demás está en grado 1. Aquí, una graduación debe ser considerada simplemente como un sistema de etiquetado.

También se puede hablar de prados . Los prados son teorías algebraicas que son versiones modificadas de los campos. En lugar de inversores multiplicativos, hay una operación unaria ι:M → M que satisface la identidad xι(x)x = x. Definiendo ι(x) = x -1 para un x distinto de cero, y ι(0) = 0 convierte cualquier campo en una pradera. La relación entre las praderas y los campos es bastante fuerte.

Una búsqueda en arXiv arroja 68 referencias (en el momento de escribir este artículo; por alguna razón, Google no encuentra nada especialmente relevante, incluso cuando se combina con la palabra "campo"). Un nombre destacado es el de Jan Bergstra.

Answer 2

1 y 2 son correctas, por una sencilla razón. Si C es una categoría que satisface 1 o 2, entonces C tiene un objeto terminal. Pero no hay objeto terminal en la categoría de campos (y homomorfismos de anillos), porque no hay mapas entre campos de distinta característica.

Por la misma razón, la categoría de campos no es una teoría esencialmente algebraica (mencionada en la respuesta de Andrew). Un esencialmente teoría algebraica puede definirse, simplemente, como una categoría pequeña con límites finitos. A modelo o álgebra para una teoría esencialmente algebraica T es un functor preservador de límites finitos T --> Set . (Por supuesto, también se pueden considerar modelos en otras categorías límite finitas.) Y la categoría de modelos siempre tiene un objeto terminal.

Esto encarna la idea que Andrew estaba describiendo, de una teoría en la que algunas operaciones están sólo parcialmente definidas, pero (¡y esto es crucial!) el dominio de definición está en sí mismo definido por ecuaciones. Se puede ver una conexión aproximada entre los límites finitos y esta idea intuitiva si se consideran los retrocesos en Set . Un retroceso en Set es, después de todo, el conjunto de pares que satisfacen alguna ecuación.

No sé en qué sentido la teoría de los campos es algebraico. Es en parte por su incapacidad de ser algebraico en cualquiera de los sentidos habituales por lo que a menudo se opta por trabajar con anillos conmutativos en lugar de campos, en la geometría algebraica y en la teoría de topos, por ejemplo.

Answer 3

Un sentido en el que la categoría $\mathbf{Fld}$ de los campos es algebraico es que forma lo que Adámek y Rosický llaman un variedad generalizada más sistemáticamente llamado a $\mathbb{D}$ -categoría accesible para la doctrina $\mathbf{D}$ de productos finitos. Las variedades generalizadas son a las categorías algebraicas lo que las categorías accesibles son a las categorías localmente presentables: por un lado, son la versión "no completa". Esto parece captar el hecho de que los campos pueden definirse con operaciones que son totales, junto con algunas condiciones que no son totales.

$\mathbf{Fld}$ es abocetado por un boceto (finito, producto, coproducto finito) (ejemplo 4.3 del primer enlace anterior). En principio, esto significa que la teoría de los campos puede interpretarse en cualquier categoría con productos finitos y coproductos finitos, aunque esto no produce necesariamente la noción "correcta": por ejemplo, si definimos un campo topológico de esta manera, entonces el elemento de identidad tiene que estar desconectado del resto del campo. A modo de comparación, las categorías algebraicas pueden esbozarse sólo mediante productos finitos; las categorías localmente presentables pueden esbozarse mediante límites finitos, y las categorías arbitrarias finitamente accesibles pueden requerir límites finitos así como colímitos aribtrarios.

Así que el álgebra categórica proporciona algunos sentido en el que los campos son un poco más algebraicos que una teoría arbitraria de primer orden, aunque no sea un sentido fantásticamente convincente.

Answer 4

Como han dicho las respuestas anteriores, los campos no son algebraicos. Tampoco son esencialmente algebraicos, porque las categorías de modelos de teorías esencialmente algebraicas tienen un objeto inicial, y la categoría de campos en cambio tiene un set de objetos iniciales -- Z y Z_p para cada primo p. (No existe un mapa de un campo de una característica a un campo de una característica diferente, por lo que no puede haber un único objeto inicial).

Los campos son modelos de una teoría que es esencialmente algebraica y que permite especificar disyunciones. En el lenguaje de los esbozos, los campos son los modelos de un "esbozo de suma finita". Esto se demostró en la tesis de Diers y se explica en el artículo "The formal description of data types using sketches" de Charles Wells y Michael Barr, en el volumen 298 de las Springer Lecture Notes in Computer Science, 1988. Para una visión general de los croquis, véase "Sketches: Outline with References" en http://www.cwru.edu/artsci/math/wells/pub/pdf/sketch.pdf .

AÑADIDO el 17 de noviembre de 2009. La categoría de modelos de una teoría de suma finita no es tan bonita como los modelos de una teoría algebraica o incluso de una teoría esencialmente algebraica. En general, cuantos más tipos de cosas diferentes se pueden especificar en un esquema, más incómoda es la categoría de modelos. La categoría de campos es bastante complicada.
Es hace tienen colímites filtrados y es cerrado bajo ultraproductos. Los teóricos del campo han hecho un uso considerable del cierre bajo ultraproductos.

Answer 5

Una pequeña observación que también puede ser útil está motivada por el teorema de Birkhoff: en la mayoría de los sentidos habituales, las álgebras para la teoría algebraica dada son cerradas bajo productos, cosa que los campos no son.