Contar el número de contraseñas con al menos un dígito, una consonante y una vocal

Question

Cuántos $7$ -¿Hay contraseñas largas con al menos una consonante y al menos una vocal y al menos un dígito? Tenga en cuenta que hay $5$ vocales y $21$ consonante y $10$ dígitos.

He intentado contar el número de contraseñas sin vocales ( $31^7$ ), las consonantes ( $15^7$ ) y los dígitos ( $26^7$ ). Primero conté el número de contraseñas con al menos una vocal ( $36^7-31^7$ ) (y también con consonantes y cifras). Luego conté el número de contraseñas con al menos una vocal y una consonante( $36^7-31^7-15^7$ ). Luego apliqué el PIE para obtener la respuesta $36^7-31^7-15^7-26^7$ . ¿Es esto correcto? Si no es así, ¿en qué me estoy equivocando?

Answer 1

Lo que ha hecho hasta ahora es correcto. Sin embargo, tu respuesta no es correcta, ya que has restado las contraseñas a las que les faltan tanto consonantes como vocales, tanto consonantes como dígitos, y tanto vocales como consonantes dos veces, una por cada forma en que podrías haber designado un tipo de carácter como tipo de carácter que falta. Sólo queremos restarlos una vez, así que debemos sumarlos al total.

Si definimos $C$ para ser el conjunto de contraseñas con al menos una consonante, $D$ para ser el conjunto de contraseñas con al menos un dígito, y $V$ para ser el conjunto de contraseñas con al menos una vocal, entonces deseamos encontrar $$|C \cap D \cap V| = |U| - |C' \cup D' \cup V'|$$ donde $|U|$ es el conjunto de todas las contraseñas posibles de longitud $7$ .

Por el principio de inclusión-exclusión, \begin{align*} |C' \cup D' \cup V'| & = |C'| + |D'| + |V'|\\ & \qquad - |C' \cap D'| - |C' \cap V'| - |D' \cap V'|\\ & \qquad\quad + |C' \cap D' \cap V'| \end{align*}

$|U|$ : Hay $36$ formas de cubrir cada uno de los siete puestos, por lo que $|U| = 36^7$ .

$|C'|$ : Si el $21$ consonantes faltan, hay $36 - 21 = 15$ formas de cubrir cada uno de los siete puestos, por lo que $|C'| = 15^7$ .

$|D'|$ : Si el $10$ faltan dígitos, hay $36 - 10 = 26$ formas de cubrir cada uno de los siete puestos, por lo que $|D'| = 26^7$ .

$|V'|$ : Si el $5$ faltan las vocales, hay $36 - 5 = 31$ formas de cubrir cada uno de los siete puestos, por lo que $|V'| = 31^7$ .

$|C' \cap D'|$ : Si faltan tanto las consonantes como los dígitos, hay $36 - 21 - 10 = 5$ formas de llenar cada una de las siete posiciones con vocales, por lo que $|C' \cap D'| = 5^7$ .

$|C' \cap V'|$ : Si faltan tanto las consonantes como las vocales, hay $36 - 21 - 5 = 10$ formas de llenar cada una de las siete posiciones con dígitos, por lo que $|C' \cap V'| = 10^7$ .

$|D' \cap V'|$ : Si faltan tanto los dígitos como las vocales, hay $36 - 10 - 5 = 21$ formas de llenar cada una de las siete posiciones con consonantes, por lo que $|D' \cap V'| = 21^7$ .

$|C' \cap D' \cap V'|$ : No es posible crear una contraseña si faltan todas las consonantes, dígitos y vocales, por lo que $|C' \cap D' \cap V'| = 0$ .

Por el Principio de Inclusión-Exclusión, el número de contraseñas admisibles es $$36^7 - 15^7 - 26^7 - 31^7 + 5^7 + 10^7 + 21^7$$