Supongamos que $f:\mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$ es continuamente diferenciable.
Dejemos que $x \in \mathbb{R}^{n}$ sea un punto.
Demuestra que se mantiene:
$$ \partial_{C} f(x) = \{ \nabla f(x)\}\,. $$
A continuación recojo las definiciones y anotaciones pertinentes:
Definición. Dejemos que $f: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$ sea localmente Lipschitz en un punto $x \in \mathbb{R}^{n}$ . La derivada direccional generalizada de $f$ en $x$ en dirección a $v \in \mathbb{R}^{n}$ se define por $$ f^{\circ}(x ; v)=\limsup_{ \substack{ y \to x \\ t \to 0^{+} }} \frac{f(y+t v)-f(y)}{t} \,. $$
Definición. Dejemos que $f: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$ sea localmente Lipschitz en $x \in \mathbb{R}^{n}\,$ . Entonces la sub-diferencial de Clarke de $f$ en $x$ es el conjunto $$ \partial_{C} f(x):=\left\{g \in \mathbb{R}^{n} \mid f^{\circ}(x ; v) \geq g^{\top} v \quad \text { for all } v \in \mathbb{R}^{n}\right\} \,. $$ Cada elemento $g \in \partial_{C} f(x)$ se llama subgradiente de Clarke de $f$ en $x$ .
Mis pensamientos hasta ahora:
ad $\supset$ : Quiero demostrar que el gradiente $\nabla f(x)$ es un elemento de la sub-diferencial de Clarke $\partial_{C} f(x)$ .
Para ello tengo que demostrar que se mantiene:
$$ f^{\circ}(x ; v) \geq \nabla f(x)^{\top} v \qquad \text { for all } v \in \mathbb{R}^{n} \,. $$
Porque $f$ es continuamente diferenciable en $x$ la derivada direccional (regular) $f^{\prime}(x ; v)$ existe para todas las direcciones $v \in \mathbb{R}^{n}$ y tenemos
$$ f^{\prime}(x ; v)=\nabla f(x)^{\top} v \qquad \text{for all } v \in \mathbb{R}^{n} \,. $$
Debido a $f^{\prime}(x;v) \leq f^{\circ}(x;v)$ para todos $v \in \mathbb{R}^{n}$ así tenemos
$$ f^{\circ}(x ; v) \geq f^{\prime}(x;v) = \nabla f(x)^{\top} v \qquad \text { for all } v \in \mathbb{R}^{n} \,. $$
Esto demuestra que la inclusión $\supset$ se mantiene.
La otra inclusión, es decir $\subset$ No sé cómo mostrarlo. Cualquier ayuda o pista es muy apreciada.
