Subasta de segundo precio con precios de reserva - Pago esperado del ganador

Question

Tengo problemas para entender una subasta de segundo precio con precio de reserva, es decir, una subasta de segundo precio donde la valoración de cada jugador se distribuye uniformemente en $[0, 1]$ y las dos valoraciones son variables aleatorias independientes. Aquí tenemos un precio de reserva fijo $r$ > 0 que es conocido por los compradores: si las dos ofertas están por debajo del umbral $r$ Entonces no hay ganador.

Este hilo sobre subastas de segundo precio ha explicado bastante bien la lógica para encontrar los ingresos esperados para el subastador, sin embargo, no entiendo cómo podemos encontrar el pago esperado para el ganador.

A mí me parece que tenemos 3 casos posibles para el ganador:

1. Ambos jugadores pujan por debajo de $r$ y no hay ganador, por lo tanto, el pago esperado es cero.
2. Un jugador puja por debajo $r$ y el otro supera $r$ , realizando el pago previsto $r$ .
3. Ambos jugadores pujan por encima de la reserva, lo que hace que el juego se reduzca a una subasta regular de segundo precio, por lo que el pago esperado por el ganador es la oferta del perdedor.

¿Tiene sentido mi lógica? ¿Cómo encuentro entonces el pago del ganador en la expectativa? Tengo problemas para configurar estos problemas, así que cualquier consejo al respecto también es bienvenido.

Answer 1

El único equilibrio en las estrategias débilmente dominantes es la puja veraz, por lo que la función de puja es $b_i(v_i) = v_i$ para ambos jugadores. Los ingresos del vendedor $R$ (igual al pago del ganador) es una función de $v_1,v_2,r$ : $$R = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{if } r > \max\{v_1, v_2\}\\ r & \mbox{if } v_2 < r < v_1\\ r & \mbox{if } v_1 < r < v_2\\ v_2 & \mbox{if } r < v_2 < v_1\\ v_1 & \mbox{if } r < v_1 < v_2\\ \end{array}\right.$$ donde he ignorado las igualdades porque ocurren con probabilidad cero y por tanto no afectan al valor esperado. Esta función es simétrica alrededor de la bisectriz, por lo que basta con calcular el valor esperado para $v_1 > v_2$ y duplicarlo.

Los ingresos previstos son, pues, los siguientes $$E(R) = 2 \left[ \int_r^1 \int_0^r r dv_2 dv_1 + \int_r^1 \int_r^{v_1} v_2 dv_2 dv_1 \right]= \frac{1+3r^2-4r^3}{3}$$

Se me ha ocurrido que podría estar interesado en el pago esperado de un determinado jugador (cuando es ganador). La expectativa incondicional es, por supuesto, sólo la mitad de los ingresos esperados, o $E(R)/2$ . Para encontrar su pago previsto condicional de ser el ganador divídalo por la probabilidad de que su oferta supere a las dos $r$ y $v_j$ (la oferta del adversario), que es $(1-r^2)/2$ para encontrar $$E \left(\mbox{ payment of } i \mid \mbox{ $ i $ is the winner} \right) = \frac{E(R)}{2(1-r^2)}$$