¿Incluye el cono de matrices copositivas el cono de matrices semidefinidas positivas?

Question

Estoy tratando de demostrar que el cono de las matrices copositivas es cerrado y en la Optimización Convexa de S. Boyd, L. Vandenberghe dice eso:

K tiene un interior no vacío, porque incluye el cono de matrices semidefinidas positivas que tiene un interior no vacío.

No le encuentro sentido a esto. Dado que la definición de una matriz copositiva es

$$ x^TAx \geq0,\,\forall x \geq 0, $$

pero para una matriz semidefinida positiva todas $x$ se consideraría. Me parece que las matrices semidefnitas positivas son un concepto más "general" y una restricción menos estricta que la copositividad.

¿Estoy entendiendo mal la relación entre conos y conjuntos?

Answer 1

1. Dejemos que $$C_1=\{A: \text{A is a real symmetric } n \times n \text{ matrix and } X'AX \ge 0 \text{ for all n vector } X \ge 0\}$$

y

$$C_2=\{A: \text{A is a real symmetric } n \times n \text{ matrix and } X'AX \ge 0 for all n vector X\}$$

Obviamente, si A pertenece a C2, entonces A pertenece a C1. De todos modos, creo que estás involucrado con esta proposición: "más restricciones causan un espacio factible más pequeño". Ok, podemos ver la prueba desde este ángulo:

2. Para una matriz copositiva A, el término cuadrático X'AX debe ser no negativo sólo para aquellos vectores X que satisfagan la restricción $X \ge 0$ mientras que para la semidefinición positiva la forma cuadrática debe satisfacer las restricciones $X \ge 0$ , $X \le 0$ y todos los vectores X que no son ni negativos ni positivos. En otras palabras, para la semidefinición positiva necesitamos que se satisfagan más restricciones.