Comprender la " $\pi$ "de un disco giratorio

Question

Supongamos que se encuentra en un sistema de referencia inercial con un disco circular plano. Si coges tu metro (o quizás una cinta métrica) puedes hallar el diámetro y la circunferencia del disco. Si divides la circunferencia por el diámetro, obtendrás exactamente $\pi$ . Ahora empieza a girar el disco. Un libro que tengo afirma que ahora la relación será diferente (vamos a llamarlo $\pi_\circ$ para evitar ambigüedades). Esto ha hecho que reevalúe mi comprensión de la relatividad especial (esto es una puesta a punto de la relatividad general, pero el problema en sí sólo requiere la teoría especial). Mi problema es que, claro, las varillas (o la cinta) se contraerían en la circunferencia, pero ¿no se contraería la circunferencia una cantidad similar, dando por tanto una medida de $\pi$ en cada marco de referencia según sus propias varas de medir. Por supuesto, este razonamiento me hace cuestionarme cómo he entendido toda la relatividad especial hasta este punto.

Answer 1

En lugar de un disco, usemos un anillo. Recuerda que me refiero a un anillo cuando te digo que hagas una medición. Si te sientas dentro de un aro, no te estás moviendo. Es como estar sentado dentro de un aro de hula hula que alguien hace girar a tu alrededor sin tocarte aplicando fuerzas tangenciales sobre el aro de hula hula.

Los metros siempre están en reposo con respecto a ti, de lo contrario se pierde el objetivo, ya que ahora sólo se acorta la longitud de la circunferencia para ti, pero no los metros. Por lo tanto, cuando mides la circunferencia con los palos, la circunferencia es más corta que la que tendrías si estuviera en reposo respecto a ti, de ahí el valor $\pi_o<\pi$ .

Para medir la circunferencia, siéntate en cada diámetro uno por uno en un instante , y mide $rd\theta$ y súmalos todos, y lo que obtendrás será más corto que antes, ya que tus palos de metro siguen siendo palos de metro porque no se están moviendo respecto a ti, pero la longitud del arco se ha reducido porque se está moviendo respecto a ti.

La longitud del diámetro no cambia, porque no hay componente de movimiento a lo largo de la dirección radial.

Ahora imagine un disco, un disco es sólo infinitamente muchos anillos, por lo que en cada anillo esto está sucediendo.

Ahora, para mayor claridad, veamos de nuevo cuidadosamente la derivación de la transformación de Lorentz.

Answer 2

Supongamos que te encuentras en un sistema de referencia inercial con un disco circular plano. Si coges tu metro (o quizás una cinta métrica) puedes hallar el diámetro y la circunferencia del disco.

A continuación, se pueden determinar con certeza las relaciones de distancia entre los componentes del borde del disco;
y se puede identificar un punto medio del disco (también en términos de relaciones de distancia, que implican constituyentes del borde del disco).

Si divides la circunferencia por el diámetro, obtendrás exactamente $\pi$ .

Por supuesto, el número $\pi$ es correspondientemente definida (por aproximación poligonal) en primer lugar.

Ahora empieza a girar el disco.

En consecuencia, idealmente: los constituyentes del disco se mueven ahora a lo largo de círculos (con respecto al sistema de referencia inercial dado, alrededor de un centro común), con duración constante $T$ del período de rotación (medido por los miembros del sistema de referencia inercial dado). Los componentes del borde del disco se mueven a velocidad constante a lo largo de un círculo del mismo diámetro $2 R$ como se había determinado anteriormente del disco en reposo.

Por lo tanto, los componentes del disco (incluido el centro de rotación) ya no están en reposo entre sí; permanecen (simplemente) rígidos entre sí en el sentido cronométrico de que dos componentes de disco cualesquiera $A$ y $B$ seguir midiendo proporciones constantes de duraciones de ping entre sí,

$$\tau_{ABA} / \tau_{BAB} = \text{constant}.$$

Los valores de estos coeficientes suelen ser diferentes de $1$ y diferentes entre sí. En particular, para el centro de rotación, $C$ y cualquier componente del borde del disco, $E$ la relación entre las duraciones de ping mutuas es

$$\tau_{ECE} / \tau_{CEC} = \sqrt{ 1 - \beta_E^2 } = \sqrt{ 1 - \left( \frac{2~\pi~R}{c~T} \right)^2 }.$$

Además, la proporción de duraciones de ping $\tau_{EAE} / \tau_{ECE}$ alcanza su valor máximo si el constituyente del disco $A$ está en el borde del disco moviéndose antipodal a $E$ y el valor máximo correspondiente es menos del 2 . De hecho

$$\text{Max}[ \tau_{EAE} / \tau_{ECE} ] \approx 2 - \beta_E^2 + \frac{13}{12} \beta_E^4 - \frac{541}{360} \beta_E^6 + ...$$

Ahora, para adaptar la aproximación poligonal de $\pi$ a estos constituyentes del disco, mutuamente rígidos, y especialmente a los que forman el borde del disco, podemos considerar un gran número ( $N$ ) de ellas distribuidas (como "marcas") uniformemente en el borde del disco, es decir, tales que las duraciones de los pings entre marcas adyacentes sean iguales.

Sea $E$ y $F$ sean dos marcas adyacentes de este tipo en el borde del disco. Entonces podemos considerar (por ejemplo) el número

$$2~\pi^C_{\beta} := N ~ \tau_{EFE} / \tau_{ECE}.$$

El número $\tau_{ECE} / \tau_{EFE}$ también representa el número de recuentos obtenidos por $E$ de pings sucesivos (viajes de ida y vuelta de la señal) a $F$ y de vuelta durante un solo ping al centro de rotación $C$ y de vuelta.

Para evaluar esta relación, para números dados $N$ y $\beta_E$ podemos considerar por separado el número $\#EFE_T$ de pings sucesivos de $E$ a $F$ y atrás que $E$ está contando en el transcurso de una vuelta completa alrededor del centro $C$ . Por supuesto, este número también se puede determinar inequívocamente en términos de cantidades que fueron medidas en su totalidad por los miembros del marco inercial dado (que pasaron por las marcas del borde del disco). A saber, estableciendo

$$x := 2~\pi~R / N,$$

$$x + t_{EF} ~c ~\beta = c~t_{EF}; \, \, \, \, \, t_{EF} = \frac{x}{c} \frac{1}{1 - \beta},$$

$$x = t_{FE} ~c ~\beta + c~t_{FE}; \, \, \, \, \, t_{FE} = \frac{x}{c} \frac{1}{1 + \beta},$$

$$t_{EFE} = t_{EF} + t_{FE} = \frac{2~x}{c} \frac{1}{1 - \beta^2},$$ y

$$\#EFE_T = T / t_{EFE} = \frac{2~\pi~R}{c~\beta}~c~\frac{1 - \beta^2}{2~x} = N~\frac{1 - \beta^2}{2~\beta}.$$

El otro valor relevante, $\#ECE_T$ que $E$ puede obtenerse directamente por conteo (y que puede ser igualmente evaluado sin ambigüedad desde la perspectiva del marco inercial) es la relación entre algún (gran) número de pings sucesivos a $C$ y hacia atrás y el correspondiente número (también grande) de vueltas completas sucesivas. Obviamente se obtiene:

$$\#ECE_T = \frac{2~\pi~R}{c~\beta} / \frac{2~R}{c} = \frac{\pi}{\beta}.$$

Insertando estos dos valores en el cálculo de $2~\pi^C_{\beta}$ :

$$2~\pi^C_{\beta} := N ~ \tau_{EFE} / \tau_{ECE} = N ~ \frac{\#ECE_T}{\#EFE_T} = N ~ \frac{\pi}{\beta} \times \frac{1}{N}~\frac{2~\beta}{1 - \beta^2} = \frac{2~\pi}{1 - \beta^2} \gt 2~\pi.$$

Comparando en cambio con el "máximo antipodal":

$$\pi^A_{\beta} := N ~ \tau_{EFE} / \tau_{ECE} \times 1 / \text{Max}[ \tau_{EAE} / \tau_{ECE} ] = \frac{2~\pi^C_{\beta}}{\text{Max}[ \tau_{EAE} / \tau_{ECE} ]} \gt \pi^C_{\beta} \gt \pi.$$

Por lo tanto, para estos dos casos (con la notación utilizada en la pregunta): $$\pi_o > \pi.$$