¿Por qué el grupo de Mobius se denota por $Aut(\hat{\mathbb{C}})$

Question

En algunos artículos, el grupo de Möbius se denota por $Aut(\hat{\mathbb{C}})$ incluso en la wikipedia.

Me pregunto por qué. ¿Podemos reunir todas las transformaciones de Möbius bajo algunas propiedades de las funciones sobre $\hat{\mathbb{C}}$ ?

Por ejemplo, en la teoría de grupos, $Aut(G)$ es un grupo de automorfismo que es la colección de todos los homomorfismos de grupo en $G$ . ¿Es la notación $Aut(\hat{\mathbb{C}})$ ¿es algo coherente con esto?

Answer 1

$\hat{\mathbf{C}}$ es una superficie de Riemann, y $\text{Aut}(\hat{\mathbf{C}})$ es su grupo de automorfismo: biyecciones meromorfas.

Answer 2

Porque $\hat{\mathbb{C}}$ es compacta, las funciones meromórficas sobre ella sólo pueden tener un número finito de polos. Por lo tanto, por la definición de funciones meromorfas (sigularidades aisladas y holomorficidad), cualquier función meromorfa puede escribirse como $f=\frac{p}{q}$ donde $p,q$ son polinomios y $q\neq0$ . Desde $\operatorname{Aut}(\hat{\mathbb{C}})$ es el grupo de meromorfos biyecciones las funciones en él deben tener la forma $f=\frac{az+b}{cz+d}$ . Por el teorema de Liouville, se puede mapear $\left(GL(2,\mathbb{C}),\cdot\right)\to\left(\operatorname{Aut}(\hat{\mathbb{C}}),\circ\right)$ subjetivamente por el homomorfismo $$f:\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}\to\left\{f(z)=\frac{az+b}{cz+d}\right\}$$ y este homomorfismo tiene un núcleo $$\ker f=\left\{\begin{pmatrix} a & 0\\ 0 & a \end{pmatrix}: a\in\mathbb{C}^*\right\}$$ Por lo tanto, se puede ver que $$\operatorname{Aut}(\hat{\mathbb{C}})=f(GL(2,\mathbb{C}))\cong GL(2,\mathbb{C})/\ker f=PSL(2,\mathbb{C})$$ Y es por eso que en algunos artículos el grupo de Mobius se denota por $\operatorname{Aut}(\hat{\mathbb{C}})$ .