Una investigación sobre la caracterización de la continuidad en Heine

Question

Esta caracterización de la continuidad, por ejemplo, para las funciones $f: \mathbb R \to \mathbb R$ puede ser declarado como:

Una función $f: \mathbb R \to \mathbb R$ es continua en el punto $x_0$ si y sólo si para cada secuencia $x_k$ que tiende a $x_0$ la secuencia $f(x_k)$ tiende a $f(x_0)$ .

Por ejemplo, creo que la caracterización de Heine de la continuidad sería válida si la expresáramos así:

Una función $f: \mathbb R \to \mathbb R$ es continua en el punto $x_0$ si y sólo si para casi todos secuencias $x_k$ que tienden a $x_0$ las secuencias $f(x_k)$ tienden a $f(x_0)$ .

Ahora bien, el significado de " casi todos "creo que se le puede dar un significado más preciso.

No estoy seguro de que esta formulación sea suficiente para asegurar la continuidad:

Una función $f: \mathbb R \to \mathbb R$ es continua en el punto $x_0$ si y sólo si para todas las secuencias (excepto tal vez contablemente muchas) $x_k$ que tienden a $x_0$ las secuencias $f(x_k)$ tienden a $f(x_0)$ .

¿Qué opina de esto, en el sentido de minimizar los supuestos? Es decir, ¿en qué medida se puede debilitar el requisito de todas las secuencias para que este teorema siga siendo válido?

Editar : Para aclarar, quiero decir que si suponemos que la continuidad se preserva para algún espacio de secuencias más pequeño que el espacio de todas las secuencias, entonces podemos demostrar que se preserva para todas las secuencias. Pero, ¿cómo de "pequeño" es de pequeño? ¿Un conjunto denso de secuencias en todas partes?

Answer 1

Su debilitamiento a todas las secuencias excepto las posiblemente contables funciona perfectamente. Para demostrarlo, sólo tenemos que demostrar lo siguiente

Reclamación: Supongamos que $f:\Bbb R\to\Bbb R$ y que existe una secuencia de puntos $x_k$ de $\Bbb R$ y un punto $x_0\in\Bbb R$ tal que $x_k\to x_0$ pero $\neg\bigl(f(x_k)\to f(x_0)\bigr).$ Entonces hay un número incontable de secuencias de puntos $y_k$ de $\Bbb R$ tal que $y_k\to x_0$ pero $\neg\bigl(f(y_k)\to f(x_0)\bigr).$

La prueba es fácil: basta con cambiar $x_1$ a cualquier otro punto de $\Bbb R$ nos permite construir innumerables secuencias de este tipo, de hecho, ¡muchas secuencias continuas!

Por lo tanto, lo mejor que podemos hacer es especificar que el número de secuencias para las que la condición de convergencia puede fallar debe ser menor que un número continuo. En realidad, esto puede ser equivalente a decir que el número debe ser a lo sumo contablemente numeroso, pero es indecidible en la teoría básica de conjuntos si hay cardinalidades entre $\aleph_0$ (la cardinalidad de los números naturales) y $\mathfrak{c}=\mathbf{2}^{\aleph_0}$ (la cardinalidad del conjunto de los números reales y del conjunto de potencias de los números naturales).