Entiendo la demostración analítica del teorema de Rouche tal como se presenta en el análisis complejo de Stein y Shakarchi - $|f(z)| > |g(z)|$ en el círculo límite C garantiza que se puede aplicar el principio de argumentación, y una aplicación de dicho principio muestra que la función que cuenta ceros a lo largo de la homotopía $f + gt$ entre $f$ y $g$ es una función continua, por lo que es necesariamente constante como $Z$ es discreto.
Pensando en esta homotopía, creo que hay una forma geométrica en la que el teorema es casi obvio - en particular, las hipótesis aseguran que los ceros no cruzan el círculo límite. Estos ceros se mueven continuamente con $t$ Aunque quizás tenga que utilizar el teorema del mapa abierto para demostrar que dada una pequeña pertubación de la imagen hay un nuevo cero cerca de cada viejo cero (utilizar el teorema del mapa abierto sería un razonamiento circular, al menos en el desarrollo del análisis complejo que estoy leyendo). También debería darse el caso de que si dos ceros se superponen, sus órdenes se suman cuando se consideran como ceros de la función holomorfa $f+tg$ . Sin embargo, no estoy seguro de cómo convencerme de esta última idea (aparte de aplicar el teorema de Rouche...).
¿Alguna idea? No busco nada especialmente formal, aunque eso también estaría bien.
(La explicación geométrica en la página de Wikipedia es diferente, aunque también convincente).
