¿Cuándo un espacio vectorial topológico localmente convexo es normal o paracompacto?

Question

Todos los espacios vectoriales topológicos localmente convexos (LCTVS) son completamente regulares, ya que su topología viene dada por una familia de seminormas. Me interesan las condiciones que implican que un LCTVS es paracompacto o normal.

Algunos antecedentes: Tengo un espacio particular en mente. Es un colímite dirigido (unión) sobre una familia incontable de espacios nucleares de Frechet. Es completo, pero no es metrizable ni separable ni nuclear. Tengo una descripción muy concreta de él y puedo describir los subconjuntos acotados (y compactos). Este espacio se comporta bastante mal en otros aspectos, así que estoy anticipando a medias un resultado negativo, por lo que las respuestas en la línea de "Si puedes encontrar un subconjunto que se parezca a X, entonces no puede ser normal" podrían ser justo lo que estoy buscando.

Así que, en particular, me interesa la pregunta general. Para adelantarme a un par de respuestas "fáciles": como mi espacio no es de Frechet, no es metrizable, así que no puedo utilizar directamente los teoremas sobre metrizabilidad (sin embargo, como es un colímite puede haber algún margen para su uso indirecto). Y, por supuesto, paracompacto implicaría normalidad ya que es completamente regular.

Para evitar otro posible comentario, no voy a decir cuál es el espacio concreto. En parte porque me interesa más la situación general, este espacio no hace más que centrar mi atención en la cuestión, y en parte porque es una cuestión más útil si es general. Un poco de búsqueda inteligente revelaría de qué espacio se trata de todos modos, así que no es una gran dificultad.

Editar: Hay un ejemplo sencillo de un espacio que sería muy interesante conocer: la suma (es decir, el coproducto) de un número incontable de copias de $\mathbb{R}$ o incluso más específicamente $\sum_{\mathbb{R}} \mathbb{R}$ . Este no es el espacio específico que me interesa, pero se acerca lo suficiente como para pensar que una respuesta para este espacio me dirá qué hacer para mi espacio.

Answer 1

Gracias a tu otra pregunta, estaba en una patada de LCTVS. He encontrado un criterio general que implica que un espacio localmente convexo es paracompacto. Según la Enciclopedia de Matemáticas, si es Montel (lo que significa que tiene barriles y el teorema de Heine-Borel se cumple para él), entonces es paracompacto. Aunque este criterio es importante, no sirve para tu pregunta concreta.

Pensé que tenía una prueba para la mitad de tu pregunta, que escribí como la primera versión de esta respuesta, pero me equivoqué y probé algo diferente. Mi pensamiento se basa en el hecho de que el axioma de normalidad para un espacio topológico es equivalente al teorema de extensión de Tietze. (La extensión de Tietze se deriva de la normalidad. En la otra dirección, si $A$ y $B$ son los dos conjuntos cerrados, se obtienen barrios abiertos disjuntos a partir de una función continua que es 0 en $A$ y 1 en $B$ .) Sin embargo, en mi argumento he confundido la suma directa localmente convexa de espacios con la suma directa topológica. Para una suma directa contable de copias de $\mathbb{R}$ son la misma topología, y coinciden con la topología de caja. Pero Waelbroeck, LNM 230 La nota 4 de § I.3 señala que son diferentes en el caso incontable.

Dejemos que $\alpha$ sea un ordinal, por ejemplo un ordinal de cardinalidad $2^{\aleph_0}$ . Entonces $\mathbb{R}^\alpha$ en la topología de la suma directa topológica satisface la extensión de Tietze. Sea $A \subset \mathbb{R}^\alpha$ sea un conjunto cerrado y que $f:A \to \mathbb{R}$ sea una función continua. Para $\beta < \alpha$ , dejemos que $A_\beta$ sea la intersección de $A$ y con $\mathbb{R}^\beta$ . Supongamos que $\alpha = \beta+1$ es un ordinal sucesor. Si $\alpha$ es finito, entonces la conclusión es estándar. En caso contrario, por inducción, hay una extensión $f_\beta$ de $f$ a $\mathbb{R}^\beta$ . Además, por inducción en otro sentido, ya hemos demostrado que $\mathbb{R}^{\beta+1}$ es normal, ya que $\beta$ y $\beta+1$ tienen la misma cardinalidad. Por tanto, existe una extensión $f_\alpha$ a $\mathbb{R}^\alpha$ . Si en cambio $\alpha$ es un ordinal límite, entonces las extensiones hasta $\alpha$ funcionan porque sí; ese es el comportamiento de los límites directos topológicos.

Al haber fallado la normalidad para la suma directa localmente convexa, tampoco puedo decir mucho sobre la paracompacidad. :-) Sin embargo, hay un resultado interesante llamado Teorema de selección de Michael que parece hacer para la paracompacidad lo que el teorema de Tietze hace para la normalidad. Si el teorema de Tietze es útil para tus espacios, entonces quizás el teorema de selección de Michael también lo sea.

Answer 2

Un documento que aborda esta (y otras) cuestiones para el topología débil de un espacio de Banach ... H. H. Corson, " La topología débil de un espacio de Banach " Trans. Amer. Math. Soc. 101 (1961) 1--15.

En ese caso:

$X$ es paracompacto si $X$ es Lindelöf.

Si $X^n$ es normal para todos $n$ entonces $X$ es real-compacto.