A juzgar por el axiomas de una categoría monoidal simétrica, ¿podemos decir algo sobre que el unidor izquierdo está relacionado con el unidor derecho?
Tenemos los morfismos (usando la notación como nlab) $$ \lambda_1 :1 \otimes 1 \rightarrow 1 $$ $$ \rho_1 : 1 \otimes 1 \rightarrow 1$$ Me parece deseable que $$ \lambda_1 =\rho_1 b_{1,1}$$ retiene. Pero esto no parece estar implícito.
La razón es que: ¿no se querría una elección canónica del isomorfismo $$ 1 \otimes 1 \simeq 1?$$
En realidad, $\lambda_I$ y $\rho_I$ son iguales en cualquier categoría monoidal, y $\lambda_X=\rho_X B_{1,X}$ en cualquier categoría monoidal simétrica, aunque esto no es del todo evidente. De hecho, Mac Lane exigió originalmente estos axiomas, y también que $\lambda_{A\otimes B}\circ \alpha_{I,A,B}=\lambda_A\otimes B$ y $ A\otimes\rho_B \circ \alpha_{A,B,I} =\rho_{A\otimes B}$ pero Kelly demostró que todas estas identidades podían deducirse de los diagramas de triángulo, pentágono y hexágono:
Sobre las condiciones de MacLane para la coherencia de las asociatividades naturales, conmutatividades, etc. G.M. Kelly, 1964, Journal of Algebra 1, pp 397-402
El argumento también se puede encontrar en el nLab .
Más tarde, Joyal y Street demostraron que $\lambda_X=\rho_X B_{1,X}$ se mantiene incluso en las categorías monoidales trenzadas:
Categorías tensoriales trenzadas A. Joyal y R. Street, 1993, Advances in Mathematics 102, pp 20-78
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