Homología de Hochschild: cambio de anillo de tierra

Question

El teorema 9.1.7 del álgebra homológica de Weibel dice lo siguiente (cambiaré ligeramente la notación):

Dejemos que $f:k\to \ell$ sea un morfismo de anillos conmutativos. Denotemos $\otimes = \otimes_k$ . Sea $A$ ser un $k$ -Álgebra. Consideremos $\ell \otimes A$ : es un $\ell$ -donde $\ell$ actúa a la izquierda.

Dejemos que $Q$ ser un $(\ell \otimes A)$ -bimodulo. En particular, es un $A$ -bimodulo por restricción de escalares. Entonces:

$\operatorname{HH}^\ell_*(\ell \otimes A,Q) \cong \operatorname{HH}^k_*(A,Q)$ .

Lo demuestra de la siguiente manera: considere la canónica $k$ -isomorfismo

$$Q \otimes_\ell (\ell \otimes A)^{\otimes_\ell n} \cong Q \otimes A^{\otimes n}$$

Afirma que esto produce un isomorfismo de los complejos de Hochschild, pero no veo cómo conmuta con el último mapa de caras. Así que vamos a verlo en detalle. El isomorfismo es

$$q\otimes((\lambda_1\otimes a_1)\otimes \dots \otimes (\lambda_n \otimes a_n)) \mapsto (q\cdot (\lambda_1\dots \lambda_n \otimes 1)) \otimes a_1\otimes \dots \otimes a_n.$$

Tenemos que comprobar que el siguiente cuadrado conmuta. $$\require{AMScd} \begin{CD} Q \otimes_\ell (\ell \otimes A)^{\otimes_\ell n} @>>> Q \otimes A^{\otimes n} \\ @VVV {} @VVV \\ Q \otimes_\ell (\ell \otimes A)^{\otimes_\ell n-1} @>>> Q \otimes A^{\otimes n-1} \end{CD}$$

Pero creo que ir primero en horizontal y luego en vertical hace $q\otimes((\lambda_1\otimes a_1)\otimes \dots \otimes (\lambda_n \otimes a_n))$ tierra en

$$(1\otimes a_n) \cdot q \cdot (\lambda_1 \cdots \lambda_n \otimes 1) \otimes a_2\otimes \dots \otimes a_n$$

y al ir en la otra dirección hace que aterrice en

$$(\lambda_n \otimes a_n) \cdot q \cdot (\lambda_1 \cdots \lambda_{n-1} \otimes 1) \otimes a_2 \otimes \dots \otimes a_n$$

y no veo por qué estos dos deberían ser iguales. Si el bimódulo $Q$ fueran simétricos, esto sería cierto, pero ¿por qué sería cierto en general?

Entonces, ¿dónde está mi error?

Answer 1

Creo que la pregunta es qué quiere decir Weibel con " $R_\ell$ - $R_\ell$ -bimódulo" en su Teorema 9.1.7. Cuando los algebristas hablan de un " $\left(A,B\right)$ -bimódulo" (Weibel escribe " $A$ - $B$ -bimódulo"), rara vez significan literalmente un grupo aditivo dotado de un $A$ -y un derecho $B$ -estructura de módulo que satisface la "ley de asociatividad"

(1) $\left(ac\right)b=a\left(cb\right)$ para todos $a \in A$ , $b \in B$ y $c \in C$ .

Normalmente, lo que quieren decir es una versión relativa de esta noción. Es decir, suelen trabajar sobre un "anillo base" conmutativo $k$ para el que tanto $A$ y $B$ son $k$ -algebras. A continuación, definen un $\left(A,B\right)$ -bimódulo para significar un $k$ -Módulo dotado de un $k$ -bilineal izquierda $A$ -y una estructura de módulo $k$ -Derecha bilineal $B$ -estructura de módulo que satisface la "ley de asociatividad" (1) . Estrictamente hablando, es una mala idea suprimir el $k$ de la notación, ya que conduce a la confusión (véase, por ejemplo, math.stackexchange #889130 ), pero en la práctica funciona la mayoría de las veces cuando el $k$ está muy claro por el contexto. (Personalmente prefiero mantener el $k$ explícita y hablar de " $\left(A,B\right)_k$ -bimódulos").

Ahora bien, creo que cuando Weibel habla de " $R_\ell$ - $R_\ell$ -bimodulo", quiere $\ell$ (no $k$ ) para ser el anillo base común. Si es así, entonces su diagrama conmuta. Esto es menos claro en tu replanteamiento del teorema, porque el producto tensorial $\ell \otimes A$ no sugiere un cambio de base completo con tanta fuerza como la notación $R_\ell$ . Pero, por supuesto, la solución correcta es no confiar en la sugerencia, y aclarar la notación.