el producto tensorial de las láminas conmuta con la imagen inversa

Question

Dejemos que $f : X \to Y$ sea un morfismo de espacios anillados y $\mathcal{M}$ , $\mathcal{N}$ gavillas de $\mathcal{O}_Y$ -módulos. Entonces se tiene un isomorfismo canónico $f^*(\mathcal{M} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{N}) \cong f^*\mathcal{M} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{N}$ pero no puedo encontrar una prueba en ninguna de las referencias estándar. El problema es que las definiciones de los funtores $f^*$ y $\otimes$ son tan engorrosos que ni siquiera puedo escribir un mapa entre estas dos gavillas. Seguro que hay una forma bonita de hacerlo: para que te hagas una idea de lo que quiero decir con "bonita", soy el tipo de persona a la que le gusta definir esos funtores como adjuntos a algún functor menos complicado, demostrar que existen y luego olvidarse de la construcción.

Answer 1

Lo he resuelto: dejemos que $\mathcal{P}$ sea una gavilla de $\mathcal{O}_X$ -módulos. Es fácil comprobarlo a partir de la definición de $\mathscr{H}om$ y la colindancia de $f^*$ y $f_*$ que $f_*\mathscr{H}om(f^*\mathcal{N},\mathcal{P}) \cong \mathscr{H}om(\mathcal{N},f_*\mathcal{P})$ y luego vemos que

\begin{align*} \text{Hom}(f^*\mathcal{M} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{N},\mathcal{P}) &\cong \text{Hom}(\mathcal{M},f_*\mathscr{H}om(f^*\mathcal{N},\mathcal{P}))\\ &\cong \text{Hom}(\mathcal{M},\mathscr{H}om(\mathcal{N},f_*\mathcal{P}))\\ &\cong \text{Hom}(f^*(\mathcal{M} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{N}),\mathcal{P}) \end{align*}

Así que $f^*\mathcal{M} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{N}$ y $f^*(\mathcal{M} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{N})$ representan el mismo functor, por lo que son canónicamente isomorfos.

Answer 2

Cabe señalar que la misma idea de prueba demuestra más o menos la afirmación más fuerte:

Dejemos que $F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$ sea un functor adjunto a la izquierda y sea $C^\bullet$ sea un diagrama en $\mathcal{C}$ . Entonces existe un isomorfismo natural

$\text{colim } FC^{\bullet}\cong F \text{ colim } C^{\bullet}$ .

Prueba: Para cualquier objeto $D\in \mathcal{D}$ tenemos

\begin{align*} \text{Hom}(F\text{ colim }C^{\bullet},D)&\cong \text{Hom}(\text{ colim }C^{\bullet}, F^{\perp} D)\\ &\cong \text{ lim }\text{Hom}(C^{\bullet},F^{\perp} D)\\ &\cong \text{ lim }\text{Hom}(FC^{\bullet},D)\\ &\cong \text{Hom}(\text{ colim }FC^{\bullet},D). \end{align*}