Por qué para la función dirac $\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\ dx=1$

Question

La función dirac se define como $\delta(x)=\infty$ cuando $x=0$ , $\delta(x)=0$ de lo contrario. Me pregunto por qué podemos derivar $\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\ dx=1$ , o esto es sólo una definición

Answer 1

No es así como se define el dirac; es así como se conceptualiza.

La definición de la distribución delta de dirac es que es una distribución con la propiedad

$$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x - k)f(x) {\rm d}x = f(k)$$

Así que si tomas el caso $k = 0$ y $f(x) = 1$ entonces se obtiene el resultado.

La conceptualización que $\delta(x) = \begin{cases} \infty \text{ for } x=0\\ 0 \text{ for } x \ne 0 \end{cases}$ es muy útil en disciplinas como la ingeniería eléctrica y el DSP, donde a veces se denomina "pico" y se pueden ver aproximaciones del mismo en un osciloscopio. Pero debido a la ambigüedad, " $\infty$ " casi nunca se utiliza como objeto por la razón que indicas, no tendría propiedades que nos permitan resolver la integral.

Answer 2

La idea de que " $\delta(0)=\infty$ y $\delta(x)=0$ de lo contrario" no es una definición de la función delta de Dirac, es sólo una intuición gráfica conveniente. Aunque hay un sentido en el que se puede aproximar $\delta$ por curvas de aguja cada vez más afiladas y largas que sobresalen en $x=0$ . Lo explicaré en un momento.

A menudo en la vida tenemos ponderado medias. Por ejemplo, mi nota en la clase de historia se componía de tres partes: la asistencia era de 25 puntos, el examen parcial era de 100 puntos y el examen final de 125 puntos, para un total de 250 puntos. Por lo tanto, si mis puntuaciones en la asistencia, el examen parcial y el final son $A,B,C$ entonces mi nota final puede ser calculada como la ponderado media $\frac{25}{250}A+\frac{100}{250}B+\frac{125}{250}C$ . Los coeficientes de las incógnitas son las ponderaciones: especifican en qué medida contribuye cada puntuación a mi nota final.

Otro ejemplo es la masa y la densidad. El volumen de una región en el espacio es simplemente la integral de volumen sobre la región, $\int_RdV$ en el que cada punto del espacio contribuye por igual a la medida. Pero la masa es diferente, y es $\int_R\rho dV$ , donde $\rho$ es la densidad en un punto concreto del espacio. El centro de masa de un objeto de densidad uniforme sería $\int_R\vec{x}dV$ es decir, la "media" vectorial de los puntos de la región. Pero si el objeto no tiene una densidad uniforme, entonces el centro es $\int_R\rho\vec{x}dV$ de modo que la contribución de un punto a la media vectorial es proporcional a la densidad en ese punto del espacio. Si un objeto está inclinado, con mayor densidad en una parte del espacio que ocupa, el centro de masa estará más inclinado hacia esa dirección de lo que lo estaría en caso contrario.

También existen otros ejemplos. Si $X$ es una variable aleatoria, ¿cómo calculamos el valor esperado de la nueva variable aleatoria $f(X)$ utilizando $X$ ¿la distribución de probabilidades? La misma idea: $\int f(x)p_X(x)dx$ , una media de $f$ ponderados por la probabilidad de las entradas correspondientes. Muchas veces en la física y en las EDP, transformaciones integrales sopesar funciones contra núcleos para obtener nuevas funciones, generalizando la multiplicación de matrices (si pensamos en una función como un vector de coordenadas, donde cada posible entrada es un índice y la salida es la coordenada en ese índice). Por ejemplo, los núcleos de calor y los métodos de Fourier utilizan transformaciones integrales. (El delta también se utiliza de este modo; véase Funciones verdes .)

La conclusión es la siguiente: a veces el utilice de una función de "pesaje" está en integrando otras funciones contra ella . El acto de ponderar las funciones $f$ contra una función de peso dada $w$ es decir, la asignación dada por $f\mapsto \int wf$ es un mapa lineal del espacio de las funciones (adecuadas) a los escalares, lo que inspira la idea: ¿y si hablamos de forma más general de tales funcionales lineales, y no necesariamente de las que se pueden obtener integrando $f$ contra una función de peso? Estos son distribuciones , también conocidas como "funciones generalizadas".

El delta de Dirac es la distribución $f\mapsto f(0)$ que obviamente es lineal. Por conveniencia, aunque esta distribución no puede ser obtenida por una función de buena fe, "fingimos" (nocionalmente, al menos) que lo hace y escribimos $\int f(x)\delta(x)dx=f(0)$ . Por supuesto, no hay ninguna función con esta propiedad, y la notación es complicada porque, como dice Mariano, hay muchas cosas que se pueden hacer a los integrados que no se pueden hacer a este integrando ficticio $\delta(x)$ Y, en cualquier caso, confunde inevitablemente a los recién llegados. Y sin embargo, hay muchas manipulaciones de $\delta$ que funcionan aunque no sea un integrando, o incluso nos dan más potencia. Por ejemplo, invocando la integración por partes, podemos hablar de los llamados débil soluciones a las EDP transformando las EDP en ecuaciones integrales (lógicamente más débiles) y luego reinterpretando "integrar la función contra" como "aplicar la distribución a".

Ciertamente, hay familias de funciones de "pico" $\delta_\epsilon(x)$ que crecen una espiga cada vez más fina y larga en $x=0$ (como $\epsilon\to0^+$ ) para que, mientras $\lim_{\epsilon\to0^+}\delta_\epsilon(x)$ convergería puntualmente a una función que es $0$ para todos $x\ne0$ pero no se define en $x=0$ Sin embargo $f(0)=\lim_{\epsilon\to0^+}\int \delta_a(x)f(x)dx$ (nota: el límite está en el en el exterior de la integral, no en el interior). Esto justifica la intuición de que $\delta$ es $0$ fuera de $x=0$ y un pico infinito en $x=0$ . La Wikipedia ofrece el siguiente ejemplo:

$\hskip 2.3in$

Estas son las funciones $\delta_\epsilon(x)=e^{-(x/\epsilon)^2}/(\epsilon\sqrt{\pi})$ . De hecho, cada una es una distribución de probabilidad, por lo que $\delta(x)$ es un cierto "límite débil" de las distribuciones de probabilidad. De todos modos, debido a esta naturaleza de pico infinito de $\delta$ se utiliza en física para modelar impulsos Pero esto es esencialmente una idealización en la que dejamos que la región del espacio sobre la que actúa un pulso tienda a un punto de dimensión cero, lo que nos obliga a elevar la amplitud hasta el infinito a modo de compensación, para que la dinámica resultante se acerque a un límite significativo.

Answer 3

Se trata de una notación convencional, ya que esta integral no existe.

De todos modos, si lo hiciera, podría evaluarse como la diferencia de su antiderivada en $\pm\infty$ . Esta hipotética antiderivada sería constante en todas partes (derivada cero), excepto con una discontinuidad en $0$ (derivada infinita).

Dicha función se conoce como paso de Heaviside, definido como $0$ para los negativos y $1$ para los positivos.

$$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\ dx=h(x)\Big|_{-\infty}^{\infty}=1.$$

A $\delta$ función como esta integral daría como resultado $0$ o $\infty$ sería de poco interés ya que generaría igualdades degeneradas. Y para simplificar, el área se define como $1$ (en principio, se le puede atribuir cualquier valor, ya que escalarlo no tiene ningún efecto).

El $\delta$ se presenta a menudo como el límite de una función de pico cada vez más estrecho, que actúa como un peso promedio. Una media ponderada se obtiene como $$\overline f_w=\frac{\int_{-\infty}^{\infty}w(x)f(x)\ dx}{\int_{-\infty}^{\infty}w(x)\ dx}.$$ Se dice que los pesos están normalizados cuando $$\int_{-\infty}^{\infty}w(x)\ dx=1,$$ y la media se reduce a $$\overline f_w=\int_{-\infty}^{\infty}w(x)f(x)\ dx.$$ Puedes ver $\delta$ como una función de ponderación perfectamente concentrada (todo el peso en $0$ ), que está normalizado, de modo que $$\overline f_\delta=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)f(x)\ dx=f(0).$$

Answer 4

Dejemos que $X = C^0(\mathbb{R}) \cap L^2(\mathbb{R})$ sea el espacio de las funciones continuas $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con $\int_{-\infty}^\infty |f|^2< \infty$ . (También podemos trabajar con el espacio de soporte compacto $f$ etc.) Considere el mapa lineal continuo $L:X \to \mathbb{C}$ definido por $L(f) = f(0)$ . Por el teorema de la representación de Riesz, cualquier mapa lineal continuo $H\to \mathbb{R}$ con $H$ un espacio de Hilbert debe ser de la forma $x \to (x, y)$ para algunos fijos $y\in H$ . Nuestro espacio $X$ no es un espacio de Hilbert; es sólo un espacio vectorial con producto interno $(f, g) = \int_{-\infty}^\infty fg$ bajo el cual no está completo. Sin embargo, si fuera completa, podríamos escribir $\int_{-\infty}^\infty f\delta = L(f) = f(0)$ para alguna función $\delta\in X$ .

Eso es lo que el $\delta$ es: Es la función $f \to f(0)$ , escrito como $$f \to \int_{-\infty}^\infty f(x) \delta(x)\, dx = f(0)$$ por la analogía anterior. En particular, tomando $f\equiv 1$ da $\int_{-\infty}^\infty \delta = 1$ . Ciertamente no hay una función continua $\delta$ que satisfaga la ecuación anterior. Por otra parte, podemos, por ejemplo, definir funciones de protuberancia $$h_n(x) = \begin{cases} n & \text{if $x\in [-\frac{1}{2n}, \frac{1}{2n}]$}; \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$ y observe que $$\lim_{n\to\infty} \int_{-\infty}^\infty f(x)h_n(x)\, dx = f(0) = \int_{-\infty}^\infty f(x) \delta(x)\, dx$$ para funciones razonables $f$ . Por lo tanto, podemos identificar vagamente $\delta$ con $\lim_{n\to \infty} h_n$ y hacer declaraciones como $$\delta(x) = \lim_{n\to\infty} h_n(x) = \begin{cases} \infty & \text{if $x = 0$}; \\ 0 & \text{otherwise}. \end{cases}$$ Por supuesto, $\delta$ ni siquiera es una función (tampoco lo son los $h_n$ definida de forma única), por lo que la ecuación anterior no tiene ningún sentido. Sin embargo, a veces es conveniente pensar en el tema, de la misma manera que una derivada $dy/dx$ no es literalmente un cociente, pero a menudo se comporta como si lo fuera.

Answer 5

Probablemente, una de las mejores formas de abordar este problema es utilizar la definición de la teoría de las medidas. Es decir $$\delta_{x_0}(A)=\cases{1,\quad x_0\in A\\0\quad x_0\not\in A }$$ Sumando sobre toda la línea real $$P(A)=\int_{\mathbb{R}}\delta_{x_0}(A)\mathrm{d}x_0$$ y dejar que $A=\mathbb{R}$ lleva a $P((-\infty,\infty))=1$ .