Demostrar que una función es uniformemente continua

Question

¿Cómo puedo demostrar que $f=x/(1+x^2)$ es uniformemente continua en $\Bbb{R}$

Esto es lo que hice: Tomé la derivada de $f$ y el $\lim_{x\to\infty}f'(x)$ y descubrí que va a $0$ . Así que la derivada de $f$ está acotado.

Así que como la derivada de $f$ está acotado, $f$ se considera que es Lipschitz. SO $${|f(x)-f(y)|\over|x-y|}< M\text{ for }M>0$$

o $|f(x)-f(y)<M|x-y|$ siempre que $|x-y|<\delta$ . Así que elijo $M=\epsilon/\delta$

Por favor, dame tu opinión al respecto.

Answer 1

Usted tiene $f'(x) = -\frac{x^2-1}{(x^2+1)^2}$ . Un cálculo rápido muestra que $|f'(x)| \leq |f'(0)| = 1$ . Por lo tanto, $|f(x)-f(y)| \leq |x-y|$ . Sea $\epsilon>0$ , entonces si $|x-y|\leq \epsilon$ , usted tiene $|f(x)-f(y)| \leq \epsilon$ . Por lo tanto, $f$ es uniformemente continua en $\mathbb{R}$ .