Si $\sum_{i=1}^{\infty}{a_{n^2}}$ converge, entonces $\sum_{i=1}^{\infty}{a_n}^2$ ¿converge?

Question

Dejemos que $a_n$ sea una secuencia positiva decreciente tal que $\sum_{i=1}^{\infty}a_n$ diverge.

Intento demostrar o refutar la siguiente afirmación:

Si $\sum_{i=1}^{\infty}{a_{n^2}}$ converge, entonces $\sum_{i=1}^{\infty}{a_n}^2$ converge.

¿Cómo puedo probar o refutar esta afirmación? Hace tiempo que intento encontrar un contraejemplo, pero no lo consigo.

Cualquier sugerencia será apreciada.

Answer 1

Desde $(a_n)$ es una secuencia positiva (no negativa) que podemos sumar en el orden que queramos. En otras palabras, podemos reescribir $$ \sum_{n=1}^\infty a_n^2 = \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=1}^{2n+1}a^2_{n^2+k} $$

Desde $(a_n)_n$ es una secuencia decreciente, para cualquier $n \in \mathbb N^+$ y $k \in \{1,...,2n+1\}$ obtenemos $a_{(n+1)^2} \le a_{n^2+k} \le a_{n^2}$ Por lo tanto, por la representación anterior de nuestra serie, obtenemos $$ \sum_{n=0}^\infty (2n+1)a^2_{(n+1)^2} \le \sum_{n=1}^\infty a_n^2 \le \sum_{n=0}^\infty (2n+1)a_{n^2}^2 \qquad (1)$$ Desde la serie $\sum_{n=1}^\infty a_{n^2}$ converge, y $(a_n)_n$ es una secuencia no negativa, la serie $\sum_{n=1}^\infty a_{n^2}^2$ debe converger, de modo que por (1), la convergencia de $\sum_{n=1}^\infty a_n^2$ es equivalente con la convergencia de $\sum_{n=1}^\infty na_{n^2}^2$ .

Sin embargo, hay que tener en cuenta que la secuencia $b_n = a_{n^2}$ también es decreciente y $\sum_{n=1}^\infty b_n$ converge por nuestra suposición. Estas dos propiedades de $(b_n)$ implica que $(nb_n)$ converge a $0$ Por lo tanto, hay algo de $N \ge 1$ tal que para $n \ge N$ obtenemos $na_{n^2} = nb_n \le 1$ por lo que por la no negatividad de $(a_n)$ para $n \ge N$ obtenemos $na_{n^2}^2 = a_{n^2} \cdot na_{n^2} \le a_{n^2}$ . En otras palabras, la serie $\sum_{n=1}^\infty na_{n^2}^2$ debe converger, debido a la convergencia de $\sum_{n=1}^\infty a_{n^2}$ . De nuevo por (1) esto implica la convergencia de $\sum_{n=1}^\infty a_n^2$ .