Encontrar funciones enteras tales que $g'(z)-g(z)=2\,z-z^2$

Question

Estoy atascado en el siguiente problema:

Si $g(0)=-1$ y $g(z)\neq z^2, \forall{z}\in \mathbb{C}$ , encontrar todas las funciones completas $g$ tal que $$g'(z)-g(z)=2\,z-z^2$$

Puedo ver que, como $g(z)\neq z^2$ entonces $g'(z)\neq 2\, z$ la igualdad no parece verdadera.

Answer 1

Supongamos que $g$ es una solución y que $h(z) = g(z) - z^2$ . Entonces $h'(z) - h(z) = 0$ Por lo tanto $h(z) = c e^z$ para alguna constante $c \in \mathbb{C}$ . De ello se desprende que $g(z) = z^2 + c e^z$ . Ahora, conecte $g(0) = -1$ para conseguir $c = -1$ Por lo tanto $$g(z) = z^2 - e^z.$$

Moraleja: el hecho de que ahora estés estudiando análisis complejo no significa que debas olvidar todo lo que aprendiste sobre ecuaciones diferenciales...

Answer 2

Puede asumir $g(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n.$ Entonces su ecuación es $$\sum_{n=0}^{+\infty} (n+1)a_{n+1} z^{n} - \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n =2z-z^2.$$ Ahora identifica los coeficientes del mismo grado. Se obtiene $a_1-a_0 =0$ pero $a_0=g(0)=-1$ Por lo tanto $a_1 = -1$ .

Entonces usted obtiene $2a_{2}-a_1 = 2$ por lo que $a_2 = 1/2$ y $3a_3-a_2 = -1$ por lo que $a_3 = -1/6.$ Para los siguientes coeficientes se obtiene una fórmula de recurrencia $$a_{n+1} = \frac{a_n}{n+1}.$$ Verá fácilmente que $a_n = \frac{-1}{n!}$ para $n\geq 3$ . Por lo tanto, $$g(z) = -1-z+\frac{1}{2}z^2 + \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{-z^n}{n!} =z^2-e^z.$$ Por lo tanto, si su ecuación tiene solución es necesario $z^2-e^z.$ Por otro lado es inmediato comprobar que es una solución.

Answer 3

La ecuación es equivalente a $$ \begin{align} 2z-z^2 &=g'(z)-g(z)\\ &=e^z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left(e^{-z}g(z)\right) \end{align} $$ Por lo tanto, $$ \begin{align} g(z) &=e^z\int\left(2z-z^2\right)e^{-z}\,\mathrm{d}z\\ &=e^z\left(z^2e^{-z}+C\right)\\ &=z^2+Ce^z \end{align} $$