Integral $S_\ell(r) = \int_0^{\pi}\int_{\phi}^{\pi}\frac{(1+ r \cos \psi)^{\ell+1}}{(1+ r \cos \phi)^\ell} \rm d\psi \ \rm d\phi $

Question

¿Existe una forma cerrada para $|r|<1$ y $\ell>0$ ¿entero?

La solución para los casos especiales $\ell=2$ y $4$ también sería interesante si el caso general no está disponible.

Integrando numéricamente, parece que tiende asintóticamente a $\lim_{\ell\rightarrow\infty} S_{\ell}(r) = s(r)\, \ell^{-1} \ln \ell$ para $\ell\rightarrow \infty$ . ¿Qué es? $s(r)$ ?

Esta integral da la energía de interacción para la relajación vectorial resonante entre dos órbitas estelares en la dinámica astrofísica.

EDITAR

A posiblemente identidad útil $$\tag{1} \int_{\phi}^{\pi}(1 + r \cos \psi )^{\ell} d \psi = \sum_{m=0}^{\ell} \frac{2\, i^m \ell!}{(\ell+m)!} \frac{P_{\ell}^{m}(q)}{q^{\ell+1}} {\rm if}\left(m=0, \frac{\pi - \phi}{2},-\frac{\sin (m\phi)}{m}\right)$$ donde $q=1/\sqrt{1-r^2}$ y $P_\ell^m(x)$ son polinomios de Legendre asociados . Además $$I_{m\ell}=\int_0^{\pi}\frac{\sin(m \phi)}{(1+r \cos \phi)^{\ell}} d \phi$$ se puede integrar analíticamente como se muestra (más o menos) aquí . Sin embargo, el problema de (1) es que el $m=0$ término crece muy rápidamente con $\ell$ que se anula casi exactamente con el $m>1$ términos. Para $\ell=20$ y $r=0.8$ el $m=0$ término es $3.4604541\times 10^{15}$ mientras que la suma de los $m>1$ términos es $-3.4604541\times10^{15}$ . Los dos términos tienen la misma magnitud con 15 dígitos significativos, de modo que su suma es 0,411. Esto demuestra que estos términos requieren un cálculo numérico extremadamente preciso. Si alguien puede (i) averiguar la razón subyacente de esta mágica cancelación o (ii) dar una solución analítica para el $m=0$ término, entonces se pueden eliminar los números grandes y hacer esto calculable. Esperaba que alguien pudiera escribir una solución inteligente que evitara el uso de (1).

EDIT2: Verificar la estabilidad numérica de la respuesta para $r=0.8$ y $\ell=100$ para ver si puede alcanzar la precisión deseada $10^{-8}$ . Asegúrese de que las sumas parciales que componen una respuesta no alcanzan $10^{92}$ . La identidad citada anteriormente y todas las respuestas hasta ahora no superan esta prueba.

Answer 1

$$\int_0^\pi\int_\phi^\pi\dfrac{(1+r\cos\psi)^{\ell+1}}{(1+r\cos\phi)^\ell}d\psi~d\phi$$

$$=\int_0^\pi\int_\phi^\pi\sum\limits_{m=0}^{\left\lfloor\frac{\ell+1}{2}\right\rfloor}\dfrac{C_{2m}^{\ell+1}r^{2m}\cos^{2m}\psi}{(1+r\cos\phi)^\ell}d\psi~d\phi+\int_0^\pi\int_\phi^\pi\sum\limits_{m=0}^{\left\lceil\frac{\ell+1}{2}\right\rceil}\dfrac{C_{2m+1}^{\ell+1}r^{2m+1}\cos^{2m+1}\psi}{(1+r\cos\phi)^\ell}d\psi~d\phi$$

$$=\int_0^\pi\int_\phi^\pi\dfrac{1}{(1+r\cos\phi)^\ell}d\psi~d\phi+\int_0^\pi\int_\phi^\pi\sum\limits_{m=1}^{\left\lfloor\frac{\ell+1}{2}\right\rfloor}\dfrac{(\ell+1)!r^{2m}\cos^{2m}\psi}{(2m)!(\ell-2m+1)!(1+r\cos\phi)^\ell}d\psi~d\phi\\+\int_0^\pi\int_\phi^\pi\sum\limits_{m=0}^{\left\lceil\frac{\ell+1}{2}\right\rceil}\dfrac{(\ell+1)!r^{2m+1}\cos^{2m+1}\psi}{(2m+1)!(\ell-2m)!(1+r\cos\phi)^\ell}d\psi~d\phi$$

Para $\int\cos^{2m}\psi~d\psi$ , donde $m$ es cualquier número natural,

$$\int\cos^{2m}\psi~d\psi=\dfrac{(2m)!\psi}{4^m(m!)^2}+\sum\limits_{n=1}^m\dfrac{(2m)!((n-1)!)^2\sin\psi~\cos^{2n-1}\psi}{4^{m-n+1}(m!)^2(2n-1)!}+C$$

Este resultado puede hacerse por integración sucesiva por partes, por ejemplo, como se muestra http://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7012022000808

Para $\int\cos^{2m+1}\psi~d\psi$ , donde $m$ es cualquier número entero no negativo,

$$\int\cos^{2m+1}\psi~d\psi$$

$$=\int\cos^{2m}\psi~d(\sin\psi)$$

$$=\int(1-\sin^2\psi)^m~d(\sin\psi)$$

$$=\int\sum\limits_{n=0}^mC_n^m(-1)^n\sin^{2n}\psi~d(\sin\psi)$$

$$=\sum\limits_{n=0}^m\dfrac{(-1)^nm!\sin^{2n+1}\psi}{n!(m-n)!(2n+1)}+C$$

$$\therefore\int_0^\pi\int_\phi^\pi\dfrac{1}{(1+r\cos\phi)^\ell}d\psi~d\phi+\int_0^\pi\int_\phi^\pi\sum\limits_{m=1}^{\left\lfloor\frac{\ell+1}{2}\right\rfloor}\dfrac{(\ell+1)!r^{2m}\cos^{2m}\psi}{(2m)!(\ell-2m+1)!(1+r\cos\phi)^\ell}d\psi~d\phi+\int_0^\pi\int_\phi^\pi\sum\limits_{m=0}^{\left\lceil\frac{\ell+1}{2}\right\rceil}\dfrac{(\ell+1)!r^{2m+1}\cos^{2m+1}\psi}{(2m+1)!(\ell-2m)!(1+r\cos\phi)^\ell}d\psi~d\phi$$

$$=\int_0^\pi\biggl[\dfrac{\psi}{(1+r\cos\phi)^\ell}\biggr]_\phi^\pi~d\phi+\int_0^\pi\biggl[\sum\limits_{m=1}^{\left\lfloor\frac{\ell+1}{2}\right\rfloor}\dfrac{(\ell+1)!r^{2m}\psi}{4^m(m!)^2(\ell-2m+1)!(1+r\cos\phi)^\ell}\biggr]_\phi^\pi~d\phi+\int_0^\pi\biggl[\sum\limits_{m=1}^{\left\lfloor\frac{\ell+1}{2}\right\rfloor}\sum\limits_{n=1}^m\dfrac{(\ell+1)!((n-1)!)^2r^{2m}\sin\psi~\cos^{2n-1}\psi}{4^{m-n+1}(m!)^2(\ell-2m+1)!(2n-1)!(1+r\cos\phi)^\ell}\biggr]_\phi^\pi~d\phi+\int_0^\pi\biggl[\sum\limits_{m=0}^{\left\lceil\frac{\ell+1}{2}\right\rceil}\sum\limits_{n=0}^m\dfrac{(-1)^n(\ell+1)!m!r^{2m+1}\sin^{2n+1}\psi}{(2m+1)!(\ell-2m)!n!(m-n)!(2n+1)(1+r\cos\phi)^\ell}\biggr]_\phi^\pi~d\phi$$

$$=\int_0^\pi\sum\limits_{m=0}^{\left\lfloor\frac{\ell+1}{2}\right\rfloor}\dfrac{(\ell+1)!r^{2m}(\pi-\phi)}{4^m(m!)^2(\ell-2m+1)!(1+r\cos\phi)^\ell}d\phi-$$

$$\int_0^\pi\sum\limits_{m=1}^{\left\lfloor\frac{\ell+1}{2}\right\rfloor}\sum\limits_{n=1}^m\dfrac{(\ell+1)!((n-1)!)^2r^{2m}\sin\phi~\cos^{2n-1}\phi}{4^{m-n+1}(m!)^2(\ell-2m+1)!(2n-1)!(1+r\cos\phi)^\ell}d\phi-$$

$$\int_0^\pi\sum\limits_{m=0}^{\left\lceil\frac{\ell+1}{2}\right\rceil}\sum\limits_{n=0}^m\dfrac{(-1)^n(\ell+1)!m!r^{2m+1}\sin^{2n+1}\phi}{(2m+1)!(\ell-2m)!n!(m-n)!(2n+1)(1+r\cos\phi)^\ell}d\phi$$

$$=\int_0^\pi\sum\limits_{m=0}^{\left\lfloor\frac{\ell+1}{2}\right\rfloor}\dfrac{(\ell+1)!r^{2m}\phi}{4^m(m!)^2(\ell-2m+1)!(1-r\cos\phi)^\ell}d\phi-$$

$$\int_0^\pi\sum\limits_{m=1}^{\left\lfloor\frac{\ell+1}{2}\right\rfloor}\sum\limits_{n=1}^m\dfrac{(\ell+1)!((n-1)!)^2r^{2m}\sin\phi~\cos^{2n-1}\phi}{4^{m-n+1}(m!)^2(\ell-2m+1)!(2n-1)!(1+r\cos\phi)^\ell}d\phi-$$

$$\int_0^\pi\sum\limits_{m=0}^{\left\lceil\frac{\ell+1}{2}\right\rceil}\sum\limits_{n=0}^m\dfrac{(-1)^n(\ell+1)!m!r^{2m+1}\sin^{2n+1}\phi}{(2m+1)!(\ell-2m)!n!(m-n)!(2n+1)(1+r\cos\phi)^\ell}d\phi$$

Para $\int_0^\pi\sum\limits_{m=0}^{\left\lfloor\frac{\ell+1}{2}\right\rfloor}\dfrac{(\ell+1)!r^{2m}\phi}{4^m(m!)^2(\ell-2m+1)!(1-r\cos\phi)^\ell}d\phi$ , por favor, remítase a Forma cerrada para la integral $\int_{0}^{\pi} \left[1 - r \cos\left(\phi\right)\right]^{-n} \phi \,{\rm d}\phi$ .

Para $\int_0^\pi\sum\limits_{m=1}^{\left\lfloor\frac{\ell+1}{2}\right\rfloor}\sum\limits_{n=1}^m\dfrac{(\ell+1)!((n-1)!)^2r^{2m}\sin\phi~\cos^{2n-1}\phi}{4^{m-n+1}(m!)^2(\ell-2m+1)!(2n-1)!(1+r\cos\phi)^\ell}d\phi$ ,

$$\int_0^\pi\sum\limits_{m=1}^{\left\lfloor\frac{\ell+1}{2}\right\rfloor}\sum\limits_{n=1}^m\dfrac{(\ell+1)!((n-1)!)^2r^{2m}\sin\phi~\cos^{2n-1}\phi}{4^{m-n+1}(m!)^2(\ell-2m+1)!(2n-1)!(1+r\cos\phi)^\ell}d\phi$$

$$=-\int_0^\pi\sum\limits_{m=1}^{\left\lfloor\frac{\ell+1}{2}\right\rfloor}\sum\limits_{n=1}^m\dfrac{(\ell+1)!((n-1)!)^2r^{2m}\cos^{2n-1}\phi}{4^{m-n+1}(m!)^2(\ell-2m+1)!(2n-1)!(1+r\cos\phi)^\ell}d(\cos\phi)$$

$$=\int_{-1}^1\sum\limits_{m=1}^{\left\lfloor\frac{\ell+1}{2}\right\rfloor}\sum\limits_{n=1}^m\dfrac{(\ell+1)!((n-1)!)^2r^{2m}u^{2n-1}}{4^{m-n+1}(m!)^2(\ell-2m+1)!(2n-1)!(1+ru)^\ell}du$$

$$=\int_{-1}^1\sum\limits_{m=1}^{\left\lfloor\frac{\ell+1}{2}\right\rfloor}\sum\limits_{n=1}^m\dfrac{(\ell+1)!((n-1)!)^2r^{2m-2n+1}(1+ru-1)^{2n-1}}{4^{m-n+1}(m!)^2(\ell-2m+1)!(2n-1)!(1+ru)^\ell}du$$

$$=\int_{-1}^1\sum\limits_{m=1}^{\left\lfloor\frac{\ell+1}{2}\right\rfloor}\sum\limits_{n=1}^m\sum\limits_{k=0}^{2n-1}\dfrac{(\ell+1)!((n-1)!)^2r^{2m-2n+1}C_k^{2n-1}(-1)^{2n-k-1}(1+ru)^k}{4^{m-n+1}(m!)^2(\ell-2m+1)!(2n-1)!(1+ru)^\ell}du$$

$$=\int_{-1}^1\sum\limits_{m=1}^{\left\lfloor\frac{\ell+1}{2}\right\rfloor}\sum\limits_{n=1}^m\sum\limits_{k=0}^{2n-1}\dfrac{(-1)^{k-1}(\ell+1)!((n-1)!)^2r^{2m-2n+1}(1+ru)^{k-\ell}}{4^{m-n+1}(m!)^2(\ell-2m+1)!k!(2n-k-1)!}du$$

que debería tener una solución de forma cerrada

también lo hace para $\int_0^\pi\sum\limits_{m=0}^{\left\lceil\frac{\ell+1}{2}\right\rceil}\sum\limits_{n=0}^m\dfrac{(-1)^n(\ell+1)!m!r^{2m+1}\sin^{2n+1}\phi}{(2m+1)!(\ell-2m)!n!(m-n)!(2n+1)(1+r\cos\phi)^\ell}d\phi$

De hecho, este enfoque funciona bien para las pequeñas $\ell$ pero puede no funcionar bien para grandes $\ell$ incluso sabemos claramente que todos los términos que excluyen a $\int_0^\pi\sum\limits_{m=0}^{\left\lfloor\frac{\ell+1}{2}\right\rfloor}\dfrac{(\ell+1)!r^{2m}\phi}{4^m(m!)^2(\ell-2m+1)!(1-r\cos\phi)^\ell}d\phi$ debe tener una solución de forma cerrada.

Answer 2

Utilizando la identidad indicada en la pregunta $$S_{\ell}(r) = \int_0^\pi\frac{\int_{\phi}^{\pi}(1 + r \cos \psi )^{\ell+1} d \psi}{(1+r\cos\phi)^{\ell}} d\phi \\ = \sum_{m=0}^{\ell+1} \frac{i^m (\ell+1)!}{(\ell+m+1)!} \frac{P_{\ell+1}^{m}(q)}{q^{\ell+1}} {\rm if}\left(m=0, \int_0^\pi \frac{\pi - \phi}{(1+r\cos\phi)^{\ell}}d\phi, -\frac{2}{m}\int_0^\pi\frac{\sin (m\phi)}{(1+r\cos\phi)^{\ell}}d \phi \right)\\ = \sum_{m=0}^{\ell+1} \frac{i^m (\ell+1)!}{(\ell+m+1)!} \frac{P_{\ell+1}^{m}(q)}{q^{\ell+1}} {\rm if}\left(m=0, \int_0^\pi \frac{\phi}{(1-r\cos\phi)^{\ell}}d\phi, -\frac{2}{m}\int_0^\pi\frac{\sin (m\phi)}{(1+r\cos\phi)^{\ell}}d \phi \right)$$ donde $q=\sqrt{(1-r)/(1+r)}$ , $P_\ell^m(x)$ son polinomios de Legendre asociados y ${\rm if}(b,f,g)$ denota la función condicional que toma el valor $f$ si $b=$ verdadero, de lo contrario, si $b=$ falso toma el valor $g$ .

Denotemos las integrales primera y segunda del paréntesis por $I_{\ell 0}$ y $I_{\ell m}$ . $$S_{\ell}(r) = \frac{P_{\ell+1}(q)}{q^{\ell+1}}I_{\ell 0}(r) - \sum_{m=1}^{\ell+1} \frac{i^m (\ell+1)!}{(\ell+m+1)!} \frac{P_{\ell+1}^{m}(q)}{q^{\ell+1}} \frac{2}{m} I_{\ell m}(r) $$ Para los primeros ver aquí $$ I_{\ell 0}(r) = \int_0^\pi \frac{\phi}{(1-r\cos\phi)^{\ell}}d\phi =(1-r)^{-\ell} \left\{ 4\,a(q) [\chi_2(q) - {\rm arctanh(q)}\ln q] +b(q)\ln q + c(q)\right\}$$ donde $q=\sqrt{(1-r)/(1+r)}$ , $\chi_2(x)$ es el Función chi de Legendre y $$ a(q)=\sum_{K=0}^{\ell-1}\frac{q^{2K+1}}{4^{\ell-1}} \frac{(2K)!}{(K!)^2} \frac{[2(\ell-1-K)]!}{[(\ell-1-K)!]^2}\,, $$ $$ b(q)=\sum_{K=0}^{\ell-2}\frac{q^{2K+2}}{4^{\ell-2}} \sum_{s=0}^{K}\frac{(2s)!}{(s!)^2}\frac{[2(K-s)]!}{[(K-s)!]^2} \sum_{j=K}^{\ell-2}\frac{[2(j-K)]!}{[(j-K)!])^2}\frac{[2(\ell-2-j)]!}{[(\ell-2-j)!]^2}\frac{2}{j-s+1}\,, $$ $$ c(q)=\sum_{K=0}^{\ell-3}\frac{q^{2K+4}}{4^{\ell-3}} \sum_{J=0}^{K} \frac{4^{K-J}}{1+K-J} \sum_{s=0}^{J}\frac{(2s)!}{(s!)^2}\frac{[2(J-s)]!}{[(J-s)!]^2}\\ \quad\times \sum_{j=K}^{n-3}\frac{[2(j-K)]!}{[(j-K)!])^2}\frac{[2(\ell-3-j)]!}{[(\ell-3-j)!]^2}\frac{1}{\ell-1-j+s+K-J}\\ \quad+\sum_{K=0}^{\ell-3}\frac{q^{2K+2}}{4^{\ell-3}} \sum_{J=K}^{L-3} \frac{-4^{J-K}}{1+J-K}\sum_{s=0}^{K}\frac{(2s)!}{(s!)^2}\frac{[2(K-s)]!}{[(K-s)!]^2}\\ \quad\times \sum_{j=J}^{\ell-3}\frac{[2(j-J)]!}{[(j-J)!])^2}\frac{[2(\ell-3-j)]!}{[(\ell-3-j)!]^2}\frac{1}{\ell-1-j+s+J-K}\,.$$

Para la otra integral en $S_{\ell}$ podemos utilizar Polinomios de Chebysev como se muestra aquí . Explícitamente, $$I_{\ell m}(r) = \int_0^\pi\frac{\sin (m\phi)}{(1+r\cos\phi)^{\ell}}d \phi \\ =\frac{-(-1)^m}{m (1-r)^{\ell}} + \frac{1}{m (1+r)^{\ell}} + \frac{\ell}{2}\sum_{k=0}^{[m/2]}\sum_{j=0}^{m-2k}(-1)^{k+m-j} \frac{(m-k-1)!}{k! j! (m-2k -j)!} \left(\frac{2}{r}\right)^{m-2k} X_{j-\ell}\\ = \sum_{j=0}^{m-1} \dbinom{m-1}j \left(\frac{2}{r}\right)^{m} \frac{X_{j-\ell+1}}{2} {}_2 F_{1} \left(\frac{1+j-m}{2}, 1+ \frac{j-m}{2}; 1-m; r^2\right) $$ donde $${}_2 F_{1} \left(\frac{1+j-m}{2}, 1+ \frac{j-m}{2}; 1-m; r^2\right)=\\ = \frac{(m-j-1)!}{(m-1)!}\sum_{k=0}^{[(m-j-1)/2]} \frac{(m-k-1)!}{(-4)^k k!(m-j-1-2k)!} r^{2k}$$ y donde $[m/2]$ es la parte entera de $m/2$ y $$X_{0} = \ln \frac{1+r}{1-r},\quad X_{n\neq0} = \frac{(1+r)^{n} - (1-r)^{n}}{n}.$$

Ahora podemos abordar de dónde viene la inexactitud numérica. La función hipergeométrica $_{2}F_1$ en este caso es una suma finita que varía monótonamente entre 0 y $1$ en función de $j$ entre $0$ y $m-1$ . Este es un término que se comporta bien. La maldad se debe a $X_{j-\ell+1}$ que se acerca a $-(1-r)^{j-\ell+1}/(j-\ell+1)$ . Para $\ell=100$ , $m\ll \ell$ y $r=0.8$ , $I_{\ell m}\sim 10^{68}$ debido a este término. Para $I_{\ell 0}$ podemos comprobar que $\chi(q)$ tiene un buen comportamiento, aumenta monótonamente de 0 a 1,233 entre $q=0$ y 1. Del mismo modo $a(q)$ , $b(q)$ , $c(q)$ son del orden de la unidad. El gran número aquí se debe a la $(1-r)^{-\ell}$ factor. Curiosamente, estos factores se suman y se cancelan casi exactamente para dar un resultado pequeño para la integral.

No estoy seguro de cómo obtener $$\lim_{\ell\rightarrow \infty} \frac{S_\ell(r)}{\ell^{-1}\ln \ell}. $$